NOTIONS ELEMENTAIRES DE LA THEOR

NOTIONS ELEMENTAIRES DE LA THEORIE DES ENSEMBLES ET DE TOPOLOGIE

1^ère partie

1. Définitions et généralités

Il n’est pas facile de donner une définition à un ensemble. Mais intuitivement, on peut affirmer qu’un ensemble,
noté généralement par une lettre majuscule, est une collection d’objets appelés éléments et notés généralement par
des lettres minuscules.

Soit A un ensemble et x un objet.

Si x est un élément de A, alors on écrira :

Si y est un objet n’appartenant pas à A, on écrira :

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément ; il est appelé ensemble vide et sera noté par
le symbole :

Un ensemble E est dit fini lorsque le nombre de ses éléments est un entier fini.

Ce nombre sera appelé cardinal de E et sera noté card(E) ou encore n(E).

Par définition on a :

Exemple : l’ensemble V des voyelles de l’alphabet français est fini et on a :

Un ensemble est dit infini lorsqu’il contient une infinité d’éléments.

Exemple : l’ensemble des entiers naturels.

On définit un ensemble de deux manières différentes :

Par extension, en établissant la liste de ses éléments entre deux accolades

Exemple : {a, e, i, o, u, y}

Par compréhension, en déclarant une propriété vérifiée par tous ses éléments

Exemple :{x ; x entier naturel}

Généralement, les ensembles infinis sont définis par compréhension.

Tout ensemble contenant un et un seul élément est appelé singleton.

Exemple : F = {a}

Tout ensemble contenant deux et seulement deux éléments est appelé paire.

Exemple : G = {1, i}

2. Inclusion et égalité des ensembles

Soient deux ensembles quelconques A, B.

Souvent on dit que A est un sous ensemble de B ou encore que A est une partie de B.

On a la tautologie suivante :

Exemples :

Si P est l’alphabet français, alors on a :

Si A est l’ensemble des chiffres, alors, en notant, N, l’ensemble des entiers naturels, on a :

Exercice

Solution

On dira que l’ensemble A est égal à l’ensemble B, ou encore A et B sont égaux, si et seulement si
on a :

Dans ce cas on écrira A = B.

Cela signifie que tout élément de A appartient à B et que tout élément de B appartient à A.

On a la tautologie suivante :

Intuitivement, deux ensembles A, B sont distincts, lorsque l’un d’eux contient au moins un élément
n’appartenant pas à l’autre.

Remarque

Si A, B sont finis et A = B alors card(A) = card(B) ; mais la réciproque est fausse.

3. Intersection des ensembles

Soient deux ensembles quelconques A, B.

L’intersection de A, B est un ensemble dont les éléments appartiennent simultanément à A et à B.

On a la tautologie suivante :

Exemple :

A = {a, i, b, p} ; B = {2, a, 3, q, i}.

Ainsi l’ensemble des entiers pairs et celui des entiers impairs sont deux ensembles disjoints.

L’intersection des ensembles est commutative.

A, B étant deux ensembles quelconques, alors on a :

En effet, on a :

L’intersection des ensembles est associative.

A, B et C étant trois ensembles quelconques, alors on a :

A titre d’exercice, démontre-la en utilisant l’associativité de la conjonction logique.

Exercice

Montre les tautologies suivantes :

Solution

Soient A, B deux ensembles quelconques.

On sait que l’équivalence logique est transitive ; donc :

Cette dernière équivalence logique s’écrit aussi :

De plus, l’intersection des ensembles étant commutative, on a :

Par ailleurs,

Ainsi, tout élément x de A est élément de B.

x élément commun à A et B, appartient donc à leur intersection et on a :

Cette dernière assertion est logiquement équivalente à :

Par conséquent, on obtient :

Conclusion :

4. Réunion des ensembles

Soient deux ensembles quelconques A, B.

La réunion de A, B est un ensemble dont les éléments appartiennent à A ou à B ou à leur intersection.

On a la tautologie suivante :

Exemple :

A = {a, i, b, p} ; B = {2, a, 3, q, i}.

Exercice

Montre les tautologies suivantes:

La réunion des ensembles est commutative.

A, B étant deux ensembles quelconques, alors on a :

En effet, on a :

Exercice

Monter que la réunion des ensembles est associative.

C’est-à-dire que :

Remarque : tu utiliseras l’associativité de la disjonction inclusive.

5. Distributivité de l’intersection et de la réunion, l’une par rapport à l’autre.

L’intersection des ensembles est distributive à gauche par rapport à la réunion des ensembles :

En effet on a :

L’intersection des ensembles est distributive à droite par rapport à la réunion des ensembles :

De la même manière que ci-dessus, et en utilisant la distributivité à droite de la conjonction logique
par rapport à la disjonction inclusive, montre la distributivité à droite, de l’intersection des ensembles
par rapport à la réunion des ensembles.

L’intersection des ensembles étant simultanément distributive à gauche et distributive à droite par
rapport à la réunion des ensembles, on dira que l’intersection des ensembles est distributive
par rapport à la réunion des ensembles.

La réunion des ensembles est distributive à gauche par rapport à l’intersection des ensembles :

Exercice

Montre cette propriété en utilisant la distributivité à gauche, de la disjonction inclusive par
rapport à la conjonction logique.

La réunion des ensembles est distributive à droite par rapport à l’intersection des ensembles :

Exercice

Montre cette propriété en utilisant la distributivité à droite, de la disjonction inclusive par rapport
à la conjonction logique.

La réunion des ensembles étant simultanément distributive à gauche et distributive à droite par
rapport à l’intersection des ensembles, on dira que la réunion des ensembles est distributive
par rapport à l’intersection des ensembles.

Vérifications par l’exemple

On donne :

On a :

Montre que l’on a également :

6. Cardinal de la réunion de deux ensembles finis quelconques

On donne deux ensembles finis quelconques A, B.

Soient a = card(A) et b = card(B).

On admettra la relation suivante :

Dans le cas particulier où A et B sont disjoints, cette relation devient :

Exercice

On te donne trois ensembles finis E, F et G.

Solution

La réunion des ensembles étant associative, on a :

L’intersection des ensembles étant distributive par rapport à la réunion des ensembles, on a :

Finalement, on obtient :

7. Partition d’un ensemble

On donne un ensemble quelconque E.

On appelle ensemble des parties de E, l’ensemble de toutes les parties de E.

Ainsi, par définition on a :

Toute partie de E différente de la partie pleine et de la partie vide est appelée partie propre.

Exemples

On remarque que :

On démontrera par la suite (analyse combinatoire) que pour tout ensemble fini E de cardinal n,
l’ensemble P(E) des ses parties est fini et son cardinal vaut :

Exercice

Définis par extension les ensembles suivants :

Solution

Partition d’un ensemble

On donne un ensemble quelconque E. P(E) est l’ensemble de ses parties.

Un ensemble A est une partition de E si et seulement si les conditions suivantes
sont simultanément vérifiées :

Remarque : La troisième condition exprime que deux éléments distincts de A sont disjoints.

Exemples

Donc A est une partition de E.

Exercice

Soit B = {E, {a}}.

Montre que B n’est pas une partition de E.

Soit N l’ensemble des entiers naturels.

On pose P l’ensemble des entiers naturels pairs et I celui des entiers naturels impairs.

Soit E = {P, I}

E est-il une partition de N ?

8. Partie complémentaire d’une partie d’un ensemble

Soit E un ensemble quelconque.

Soit A une partie quelconque de E.

La partie complémentaire de A dans E est l’ensemble de tous les éléments de E n’appartenant pas à A.

Elle est notée indifféremment :

On a la tautologie suivante :

9. Parties complémentaires de l’intersection et de la réunion de parties d’un ensemble

Soit E un ensemble quelconque.

Soient deux parties quelconques A, B de E.

On a les deux propriétés suivantes :

On dira que la partie complémentaire de l’intersection est la réunion des parties complémentaires et
que la partie complémentaire de la réunion est l’intersection des parties complémentaires.

On va montrer la première propriété.