Colinéarité des vecteurs

GESTION DE MATHS FLASH (5)

Colinéarité des vecteurs - Première partie

1- Ce que je dois connaître

Composantes scalaires et notation d’un vecteur

Exemples :

Tout vecteur dont X est différent de 0 et Y est nulle a son support ou sa direction parallèle à l’axe des abscisses.

Tout vecteur dont Y est différent de 0 et X est nulle a son support ou sa direction parallèle à l’axe des ordonnées.

Égalité de deux vecteurs

Colinéarité

On a donc :

A quoi sert la colinéarité des vecteurs ?

Elle sert à démontrer le parallélisme de droites :

2- Je m’entraîne

Solution

On doit donc trouver les racines de l’équation :

t² – 5t + 4 = 0

t² – 5t est le début d’un carré parfait (a – b)², avec a = t et

2ab = 5t.

Ainsi, on a :

En remplaçant dans notre équation, t² – 5t par son égale ainsi trouvée, on obtient :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un d’eux le soit ; donc :

t – 1 = 0 ou t – 4 = 0 ou (t = 1 ou t = 4)

Conclusion :

Solution

(m – 1)(+ 1) – (+ 4)(+ 5) = 0 ou m – 1 – 20 = 0 ou

m = 21.

Solution

Soit M (x , y) un point quelconque du repère.

(x_M – x_A) = (x – 1) et (y_M – y_A) = [y – (–5)] = (y + 5)

4x – 4 + y + 5 = 0 ou 4x + y + 1 = 0.

L’équation de (d) est donc : 4x + y + 1 = 0

Colinéarité des vecteurs - Deuxième partie

Solution

Soient M(X , Y) et M’(X’ , Y’) deux points quelconques de (d).

Leurs coordonnées doivent donc vérifier l’équation de (d) et on a :

uX + vY + w = 0

uX’ + vY’ + w = 0

En soustrayant membre à membre, on obtient :

u(X – X’) + v(Y – Y’) = 0 ou (–u)(X’ – X) – v(Y’– Y) = 0 ou

(–v)(Y’– Y) – u(X’–X) = 0

(X’ – X) et (Y’ – Y)

(–v)(Y – Y₀) – u(X – X₀) = 0 ou –vY + vY₀ – uX + u X₀ = 0 ou

–uX – vY + (vY₀ + uX₀) = 0 ou uX + vY – (vY₀ + uX₀) = 0, ou

uX + vY + w = 0, avec w = – (vY₀ + uX₀)

Application

(d) : 2x + 3y – 5 = 0, avec u = +2 et v = +3

Solution

L’équation de (d) est de la forme ux + vy + w = 0.

–v = –5 et u = –1 ou v = +5 et u = –1.

L’équation de (d) est donc :

(–1)x + (+5)y + w = 0 ou –x + 5y + w = 0

Or, A appartient à (d) ; donc, les coordonnées de A doivent vérifier l’équation de (d) et on a :

– x_A + 5y_A + w = 0 ou –(+2) + 5(–3) + w = 0 ou – 2 – 15 = – w ou w = + 17

L’équation de (d) est donc :

–x + 5y + 17 = 0 ou x – 5y – 17 = 0

5x + 3y – 5 = 0 et –10x – 6y + 13 = 0

Démontre que (d) et (d’) sont parallèles.

Solution

A (–1 , +2), B(–5 , +10) et C(–3 , +6).

Démontre que ces points sont alignés.

Solution

Donc, XY’ – YX’ = (–4)(+4) – (+8)( –2) = –16 + 16 = 0.

Donc, A, B et C sont alignés.

A (–1 , +2), B(+1 , +3) et C(m , +6) ; m étant un paramètre réel non nul.

Pour quelle valeur de m, les points A, B et C sont alignés ?

Solution

Pour que A, B et C soient alignés, il suffit que :

XY’ – YX’ = 0 ou (+2)(+4) – (+1)(m+1) = 0 ou +8 – m – 1 = 0

ou m = +8 – 1 = +7

Milieu d’un segment et symétrie centrale

Calcule les coordonnées du point W (x₀ , y₀), milieu du segment [MM’].

Exprime x’ et y’ en fonction de x₀, y₀, x et y.

On donne la droite (d) d’équation : 2x + 3y + 1 = 0 et le point W (+2 , +3).

Détermine l’équation de (I), symétrique de (d) dans la symétrie centrale W.

Solution

Cette égalité vectorielle peut encore s’écrire :

Les coordonnées du milieu d’un segment sont égales aux demi sommes des coordonnées de
ses extrémités.

Soit un point M (x , y) quelconque de la droite (d).

Son symétrique M’(x’ , y’) dans la symétrie centrale de centre W(x₀ , y₀) doit, selon le résultat
obtenu à la question (2) ci-dessus, avoir ses coordonnées x’ et y’ vérifier les deux relations :

x’ = 2x₀ – x (1)

y’ = 2y₀ – y (2)

x = 2x₀ – x’

y = 2y₀ – y’

L’image (I) de (d) par cette symétrie sera donc l’ensemble des points M’(x’ , y’) ; pour expliciter (I),
il suffit de trouver une relation liant x’ et y’.

Les cordonnées de M vérifient l’équation de (d) ; donc :

(I) est donc la droite 2x + 3y – 27 = 0.

On remarque que (I) est parallèle à (d) ; il fallait s’y attendre car la symétrie centrale conserve le parallélisme.