GESTION DE MATHS FLASH (4)

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Première partie

1- Expressions algébriques

1-1- Définitions

On appelle expression algébrique toute expression mathématique composée exclusivement de quantités et d’opérations (adition, soustraction, multiplication ou division) opérant sur ces quantités.

Exemples :

 

On appelle monôme toute expression algébrique composée d’une et d’une seule opération : la multiplication, opérant sur des quantités.

Exemples :

Chaque terme composant le monôme s’appelle facteur.

Un monôme est donc un produit de facteurs.

 

On appelle binôme toute somme algébrique de deux monômes.

Exemples :

 

On appelle trinôme toute somme algébrique de trois monômes.

Exemples :

 

Généralisation

On appelle polynôme toute somme algébrique de monômes, le nombre de monômes qui le composent étant quelconque.

Exemples :

Tous les monômes, binômes et trinômes donnés en exemple ci-dessus sont des polynômes particuliers.

 

 

1-2- Factorisation d’un polynôme ou d’une expression algébrique

Factoriser un polynôme (ou une expression algébrique) consiste à le (ou la) transformer en un produit (multiplication) de plusieurs quantités, chacune de ces quantités étant un polynôme qu’on appellera facteur.

Exemples :

 

Factorisons le polynôme :

–2a2b4c – 4ab2c – 2ab3c3

Nous avons :



Montrons que le polynôme x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 peut se mettre sous
la forme :

(x – y)(x – y)(x – y) = (x – y)3.

Développons (x – y)(x – y)(x – y) = (x – y)3.

(x – y)(x – y)(x – y)
= (x – y)[(x – y)(x – y)] =

(x – y)[(x – y)x – (x – y)y] = (x – y)[xx – yx – xy + yy] =

(x – y)[x2 – 2xy + y2] = x[x2 – 2xy + y2] – y[x2 – 2xy + y2] =

x(x2) – x(2xy) + x(y2) – y(x2) + y(2xy) – y(y2) =

x3 – 2x2y + xy2 – yx2 + 2xy2 – y3
=

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

On dit alors que le polynôme x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 peut se mettre sous la forme
d’un produit de trois facteurs tous égaux à (x – y)
.


 

L’expression –3(2x + 5) + (x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)( –2x – 5) est identique à  :

–3(2x + 5) + (x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)( –1)(2x + 5) =

(2x + 5)[ –3 + (x – 1) – (–1)(3x + 1)] =

(2x + 5)( –3 + x – 1 + 3x + 1) = (2x + 5)(4x – 3)

On dit alors que l’on a factorisé l’expression :

–3(2x + 5) + (x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)( –2x – 5)

 

en un produit de deux facteurs (2x + 5) et (4x – 3).

 

 

2- Égalité et propriétés

Définitions

 

Une relation composée de deux membres séparés par le symbole = est appelée égalité.

Exemples

3 = 3

5 = 2 + 3

–8,43 – 2,51 + 3 = –7,94

 

L’égalité 2a + 3 = 9 n’est vraie dans l’ensemble des nombres entiers naturels que si a = 3.

Elle est fausse
pour toutes les autres valeurs entières données à a
.

 

L’égalité 2b – 3 = 0 est fausse quelle que soit la valeur entière naturelle donnée à b.

On dit alors qu’elle est fausse dans l’ensemble des nombres entiers naturels.

Mais en même temps, dans l’ensemble des nombres décimaux, elle est vraie pour b = 1,5.

 

L’égalité 0 . a = 7 ou encore 0a = 7 est fausse quelle que soit la valeur entière (naturelle ou relative) ou la valeur décimale (naturelle ou relative) donnée à a.

On dit alors qu’elle est fausse dans l’ensemble des nombres
entiers naturels, dans celui des nombres entiers relatifs et dans celui des nombres décimaux relatifs.

 

Propriétés

Soit (P) une égalité.

(P) est conservée si on ajoute ou on retranche une même quantité aux deux membres.

(P) est conservée si on multiplie par une même quantité les deux membres.

(P) est conservée si on divise par une même quantité non nulle les deux membres.

Exemples :

On obtient une égalité si on ajoute aux deux membres de « 3 = 2 + 1 » la quantité –1 ; en effet :
3
+ (–1) = 2 + 1 + (–1) ou encore 2 = 2

On obtient une égalité si on retranche aux deux membres de « 3a = 2b + 1 » la quantité « b » ; on écrit :
3a
– b = 2b + 1 – b = b + 1

On obtient une égalité si on divise les deux membres de « 6 = 5 + 1 » par la quantité « –2 différente de 0 » ; en effet :



 

Application

Toute égalité peut se transformer en une égalité ou expression de type :

A = 0

C’est-à-dire en une égalité dont le second membre est nul.

En effet, soit :

a = b

On peut ajouter l’opposé du second membre « b » aux deux membres de cette expression ; on obtient :

a + opp(b) = b + opp(b)

Or on sait que :

b + opp(b) = 0

Donc finalement on obtient :

a + opp(b) = 0

Exemples :

 

 

3- Identités remarquables

3-1- Définition

Soit (P) une égalité quelconque comportant de lettres.

Soit E un ensemble quelconque d’objets.

On dira que (P) est une identité dans E si et seulement si elle est vraie quels que soient les objets appartenant à E, affectés aux lettres composant (P).

Exemples :

5 + a = 3 + 2 + a est une identité dans l’ensemble des nombres entiers naturels ; en effet, quel que soit le nombre entier naturel affecté à « a », l’expression «  5 + a = 3 + 2 + a » est vraie.

(a + b)(a – b) = a2 – b2 est une identité dite remarquable dans l’ensemble des nombres entiers relatifs : quel que soit le nombre entier relatif affecté à « a » et quel que soit le nombre entier relatif affecté à « b », (a + b)(a – b) = a2 – b2 est vraie.

Cette même expression n’est pas vraie dans l’ensemble des nombres entiers naturels ; en effet, et par exemple, pour a = 2 et b = 5, la quantité  « a – b » est impossible dans l’ensemble des nombres entiers naturels.
Donc (a + b)(a – b) = a2 – b2
n’est pas une identité dans cet ensemble.

 

 

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Deuxième partie

 

3-2- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres entiers naturels

Soient deux nombres entiers naturels a, b quelconques.

Développons :

(a + b)(a + b) ou encore (a + b)2

Nous avons :

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a.a + b.a + a.b + b.b = a2 + ba + ab + b2 =

a2 + 2ab + b2

 

Développons :

(a + b)(a + b)(a + b) ou encore (a + b)3

Nous avons :

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = [a2 + 2ab + b2](a + b) =

[a
2 + 2ab + b2](a) + [a2 + 2ab + b2](b) =

 

(a2)a + 2aba + (b2)a + (a2)b + 2abb + (b2)b = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =

a
3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

 

3-3- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres entiers relatifs

Soient deux nombres entiers relatifs a, b quelconques.

Les deux identités remarquables ci-dessus sont également vraies dans l’ensemble des nombres entiers relatifs.

On a donc :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)
3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.

 

 

Développons :

(a – b)(a – b) ou encore (a – b)2

Nous avons :

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = (a – b)a – (a –b)b = aa – ba – ab + bb = a2 – 2ab + b2

 

Développons :

(a – b)(a – b)(a – b) ou encore (a – b)3

Nous avons :

(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)2(a – b) =

 

(a2 – 2ab + b2)(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a) – (a2 – 2ab + b2)(b) =

(a
2)a – 2aba + (b2)a – (a2)b + 2abb – (b2)b = a3 – 2a2b + b2a – a2b + 2ab2 – b3
=

a
3 – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Développons :

(a + b)(a – b)

Nous avons :

(a + b)(a – b) = (a + b)a – (a + b)b = aa + ba – ab – bb = a2 – b2

 

Développons :

(a + b)(a2 – ab + b2)

Nous avons :

(a + b)(a2 – ab + b2) = a(a2 – ab + b2) + b(a2 – ab + b2) =

a(a2) – a(ab) + a(b2) + b(a2) – b(ab) + b(b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 =

a
3 + b3

 

Développons :

(a – b)(a2 + ab + b2)

Nous avons :

(a – b)(a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) – b(a2 + ab + b2) =

a(a
2) + aab + a(b2) – b(a2) – b(ab) – b(b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3
=

a
3 – b3

 

 

3-4- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs

Les sept identités remarquables ci-dessus sont également vraies dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs.

On a donc :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)
2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.

 

 

3-5- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres rationnels

Un nombre est dit rationnel si et seulement s’il existe une fraction qui lui est égale et dont les numérateur et dénominateur sont des nombres entiers (naturels ou relatifs).

Exemples :

 

Il en est de même pour π, le nombre constant utilisé dans la formule qui donne le périmètre du cercle ou dans celle qui donne son aire.

 

Les sept identités remarquables ci-dessus, vraies dans l’ensemble des nombres entiers relatifs et dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs, sont également vraies dans l’ensemble des nombres rationnels.

On a donc :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)
2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.

 

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Troisième partie

3-6- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres réels

Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.

L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels est appelé ensemble des nombres réels.

Les sept identités remarquables ci-dessus, vraies dans l’ensemble des nombres rationnels, sont également vraies dans l’ensemble des nombres réels.

On a donc :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


(a + b)(a – b)
= a2 – b2


a
3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)


a
3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

 

Les démonstrations sont les mêmes que celles développées dans la deuxième partie de ce cours.

 

 

3-7- Applications immédiates des identités remarquables

Les identités remarquables servent à développer des produits de facteurs

Exemples :

Développons (2x – 5)2.

(2x – 5)2 est de la forme (a – b)2, avec a = 2x et b = 5.

Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(2x – 5)2 = (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 = 4x2 – 20x + 25.

 

 


Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



 

Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :

(a + b)(a – b) = a2 – b2


 

Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

 

Les identités remarquables servent à factoriser des expressions algébriques

Exemples :

Factorisons l’expression :

Cette expression est de la forme a2 – 2ab + b2, avec a = 2x et b = y.

Or, a2 – 2ab + b2 est identique à (a – b)2.

Nous pouvons donc écrire :

4x2 – 4xy + y2 = (2x – y)2

 

Factorisons l’expression :
16x2 – y2

Cette expression est de la forme a2 – b2, avec a = 4x et b = y.

Or, a2 – b2 est identique à (a + b)(a – b).

Nous pouvons donc écrire :

16x2 – y2 = (4x + y)(4x – y)

 

Factorisons l’expression :
27a3 + b3


Cette expression est de la forme x3 + y3, avec x = 3a et y = b.

Or, x3 + y3 est identique à (x + y)(x2 – xy + y2).

Nous pouvons donc écrire :

27a3 + b3 = (3a + b)(9a2 – 3ab + b2)

 

Factorisons l’expression :
25x2 – 30xy – 40y2

Nous constatons d’abord que l’expression 25x2 – 30xy peut se mettre sous la forme :

a2 – 2ab, avec a = 5x et b = 3y.

Or, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2  implique  a2 – 2ab = (a – b)2 – b2.

Ainsi, 25x2 – 30xy = (5x – 3y)2 – (3y)2 = (5x – 3y)2 – 9y2.

Dans l’expression donnée, remplaçons 25x2 – 30xy par son égale

(5x – 3y)2 – 9y2.

Nous obtenons :

(5x – 3y)2 – 9y2 – 40y2 = (5x – 3y)2 – 49y2

Or, (5x – 3y)2 – 49y2 est de la forme a2 – b2, avec a = 5x – 3y et

b = 7y.

Nous savons que a2 – b2 est identique à (a + b)(a – b).

Nous pouvons donc écrire :

(5x – 3y)2 – 49y2 = [(5x – 3y) + 7y][(5x – 3y) – 7y] =

(5x + 4y)(5x – 10y) = 5(5x + 4y)(x – 2y)

Conclusion :

25x2 – 30xy – 40y2 = 5(5x + 4y)(x – 2y)

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Quatrième partie

 

4- Équations

4-1- Définitions

On appelle équation toute égalité comportant des quantités inconnues représentées généralement par des lettres.

Résoudre une équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs que peut prendre l’inconnue et pour lesquelles l’égalité est vérifiée.  Ces valeurs sont appelées solutions ou racines de l’équation.

Exemples :

« x – 5 = 0 » est une équation qui ne comporte qu’une quantité inconnue : x.

On dira que « x – 5 = 0 » est
une équation à une inconnue en x.

L’ensemble des solutions ou des racines de cette équation est {5}.






Cette équation admet deux solutions ou racines dans l’ensemble des nombres rationnels :

L’ensemble de ses racines se note donc :



Par contre, ces racines
n’étant pas des nombres entiers (naturels ou relatifs), on dira alors que cette équation n’admet aucune racine ou solution dans l’ensemble des nombres entiers relatifs et dans l’ensemble des nombres entiers naturels
.


 

 

Une équation à une inconnue est dite du nième degré par rapport à cette inconnue lorsque le plus grand exposant de cette inconnue dans l’expression de cette équation est égal à n.

Exemples :

Dans l’équation " 2x3 – 5x + 1 = 0 ", le plus grand exposant de l’inconnue x est 3. L’équation est donc à une inconnue, x et est du troisième degré par rapport à cette inconnue.

Dans l’équation " 3y2 – 1 = 5 ", le plus grand exposant de l’inconnue y est 2. L’équation est donc à une inconnue, y et est du second degré par rapport à cette inconnue.

Dans l’équation " t – 2 = 1 " ou encore " t
1 – 2 = 1"  , le plus grand exposant de l’inconnue t est 1. L’équation est donc à une inconnue, t et est du premier degré par rapport à cette inconnue.

 

 

Dans la suite, on se contentera d’étudier les équations à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, dans l’ensemble des nombres réels.

  Cependant, il faut savoir que cette étude dépend aussi de l’ensemble auquel doivent appartenir la ou les solutions ; par exemple, résoudre une équation dans l’ensemble des nombres entiers naturels suppose que la propriété de divisibilité et que l’appartenance des racines à cet ensemble soient vérifiées.

On traitera par la suite et par des exemples quelques cas de ce type.

 

 

Toute équation à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, peut se mettre sous la forme générale :

ax + b = 0, avec a et b nombres réels quelconques et x, la quantité inconnue

Les quantités réelles connues a et b sont appelées coefficients de l’équation.

Exemple :

L’équation « 2z = – 7 » peut s’écrire :

2z + opp(–7) = (–7) + opp(–7)

Or, (–7) + opp(–7) = 0.

Donc 2z + opp(–7) =
2z + 7 = 0

 

Par abus de langage, on dira que l’on a fait passer le terme du second membre de l’équation dans le premier membre, en lui changeant son signe :


7, en passant dans le premier membre, change de signe et devient +7.

 

 

4-2- Résolution de l’équation à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, dans l’ensemble des nombres réels.

1er cas : le coefficient a est nul

Dans ce cas, l’équation s’écrit :

0 . x + b = 0

Si b est nul, alors l’équation se réduit à :

0 . x + 0 = 0

Quel que soit le nombre réel x, cette dernière égalité est vraie. On dira alors que l’équation admet une infinité de racines ou solutions dans l’ensemble des nombres réels.

L’ensemble de ses racines est l’ensemble des nombres réels.


Si b est différent de zéro
, alors l’équation se réduit à :

0 . x + b = 0, avec b différent de zéro

Ce qui peut s’écrire aussi :

0 . x = – b , avec
– b différent de 0

Aucun nombre réel ne vérifie cette égalité, puisqu’une quantité nulle (1er membre de l’équation) ne peut à la fois être égale à une quantité non nulle (– b).

L’équation n’admet aucune solution dans l’ensemble des nombres réels.

 

 

2ème cas : le coefficient a est différent de zéro

Dans ce cas, l’équation s’écrit :

ax = – b

En divisant les deux membres de cette dernière égalité par la quantité a différente de zéro, on obtient :

L’équation admet une seule racine dans l’ensemble des nombres réels.

L’ensemble de ses solutions ou racines s’écrit alors :

 


Résumé :


(a = b = 0) implique que l’équation « ax + b = 0 » admet une infinité de solutions dans l’ensemble des nombres réels.

(a = 0 et b différent de 0) implique que l’équation « ax + b = 0 » n’admet aucune solution dans l’ensemble des nombres réels.

(a différent de 0) implique que l’équation « ax + b = 0 » admet une seule  solution :

dans l’ensemble des nombres réels.


 

Dorénavant l’ensemble des nombres réels sera noté R.

 

Exemples :

Résoudre dans R l’équation :

3x – 5 = 0

Solution

a = 3, différent de 0 implique que l’équation donnée admet une seule racine dans R.

On a :

3x – 5 = 0 ou 3x – 5 + opp(– 5) = 0 + opp(– 5)

Or, – 5 + opp(– 5) = 0

Donc, 3x = 0 + opp(– 5) = 0 + 5 = + 5

En divisant les deux membres de cette dernière équation par 3 différent de 0, on obtient :




On donne l’équation suivante :



Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle une seule racine dans R ?

Trouve dans ce cas l’ensemble de ses solutions.

Solution

Cette équation admet une seule racine dans R pour (m – 2) différent de zéro ou encore pour m différent de 2.

Dans ce cas, on peut écrire :

En divisant les deux membres de cette dernière équation par (m – 2) différent de 0, on obtient :

Conclusion :

Quel que soit le nombre réel m différent de 2, l’ensemble des solutions réelles de cette équation est :

 

On donne dans R l’équation suivante :

(m – 1) x + (n + 2) = 0, où x est l’inconnue, m et n étant deux nombres réels quelconques.

Pour quelles valeurs de m et de n cette équation admet-elle une infinité de solutions dans R ?

Solution

Cette équation admet une infinité de solutions dans R si et seulement si :

m – 1 = 0 et n + 2 = 0

Ainsi cette équation admet une infinité de solutions dans R si et seulement si :

m = + 1 et n = – 2

 

4-3- Applications

4-3-1- Propriété

Pour qu’un produit de plusieurs facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ces facteurs le soit.

On écrit alors :

A x B x C x ….. x M = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 ou C = 0 ou ….. ou M = 0


Remarque importante

Notons l’importance de la signification du mot « ou » :

il suffit qu’au moins un des facteurs soit nul pour que le produit le soit également.

Dans la rédaction de la solution, le remplacement de ce mot par « et » est une erreur grave en mathématiques et doit être évitée :

un énoncé de type « x = a et x = b, avec a différent de b » est faux ; x ne peut être simultanément égal à a et à b différent de a.

 

4-3-2- Résolution d’une équation de type A x B x C x ….. x M = 0 où chacun des facteurs est un monôme ou binôme du premier degré par rapport à l’inconnue

Exemples :

Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation suivante où x est l’inconnue :

2x(x – 1)(3x + 2)(–x + 3) = 0

Solution

Pour que ce produit soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ses facteurs qui le composent soit nul ; ainsi :

2x(x – 1)(3x + 2)( –x + 3) = 0 si et seulement si 2x = 0 ou (x – 1) = 0 ou (3x + 2) = 0 ou (–x + 3) = 0

Or,

2x = 0 ou
x = 0

x – 1 = 0 ou x = + 1

–x + 3 = 0 ou –x + 3 + opp(+ 3) = 0 + opp(+ 3) ou –x = – 3 ou

 
Donc, 2x(x – 1)(3x + 2)( –x + 3) = 0 si et seulement si :

L’ensemble des solutions dans R, de l’équation donnée est donc :


Résoudre dans l’ensemble R l’équation suivante où x est l’inconnue :

– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0

Solution

Pour que ce produit soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ses facteurs qui le composent soit nul ; ainsi :

– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0 si et seulement si :

– 3x = 0 ou (x + 1) = 0 ou (x + 2) = 0 ou (x2 – 7x + 12) = 0

Ce qui est logiquement équivalent à :

x = 0 ou x = – 1 ou x = – 2 ou (x2 – 7x + 12) = 0

Il reste à résoudre l’équation x2 – 7x + 12 = 0.

Pour cela, on devra factoriser (si cela est possible) le premier membre.

On constate que l’expression (x2 – 7x) peut se mettre sous la forme :

Or, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2  implique  a2 – 2ab = (a – b)2 – b2

On obtient donc :



En remplaçant dans l’équation donnée, x2 – 7x par son égale :

on obtient :



Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un au moins de ces facteurs le soit ; donc :


Conclusion :

L’équation donnée admet dans R les trois racines : –2, –1, 0, 3 et 4.

L’ensemble des solutions de cette équation est donc :

{–2 ; –1 ; 0 ; 3 ; 4}.
 

Remarque

L’équation donnée dans l’énoncé est dite à une inconnue x, du 5ème degré par rapport à cette inconnue ; il suffit de développer le premier membre et de constater que le plus grand exposant de l’inconnue x est 5.

Ainsi, à l’aide des identités remarquables et de la propriété énoncée au 4-3-1, on est parvenu à la résoudre.

On dit que nous avons ramené la résolution d’une équation du 5ème degré à celle d’un certain nombre d’équations du 1er degré.

Ainsi, souvent, la connaissance des identités remarquables et de la propriété énoncée au 4-3-1 nous permet de résoudre des équations dont le degré par rapport à l’inconnue est strictement supérieur
à 1
.

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Cinquième partie

4-3-3- Applications de la résolution d’une équation à une inconnue du 1er degré

Généralités

Dans divers domaines, comme celui des sciences et techniques, de l’économie, ou tout simplement celui de la vie courante, la résolution d’un problème peut être ramenée à celle d’une équation.

Pour cela, il faudra suivre la méthode générale suivante :

1- Lire attentivement l’énoncé du problème Il s’agit là de souligner d’abord l’ensemble des données, hypothèses et conditions.
Ensuite, il faudra
repérer l’inconnue et sa nature au regard des ensembles déjà définis en Mathématiques : ensemble des nombres entiers naturels, ensemble des nombres entiers relatifs, ensemble des nombres décimaux, ensemble des nombres rationnels, ensemble des nombres réels.

2- Mettre l’énoncé en équation
Il s’agit de traduire l’énoncé en équation mathématique.

3- Résoudre l’équation

4- Vérifier les solutions ou racines obtenues au regard des conditions soulignées lors de l’application de la première phase de la méthode.
Cette dernière phase est très importante ; elle est souvent ignorée par la majorité des élèves et est la cause de leur échec dans la résolution du problème : ce n’est pas en trouvant les racines de l’équation posée que l’on aura ainsi résolu le problème ! Encore faut-il que ces racines satisfassent toutes les conditions du problème.

 

Application à la Géométrie

Remarques préalables :

1- Une mesure géométrique est positive. Par conséquent la résolution d’un problème de géométrie, en traduisant l’énoncé en une équation et en résolvant cette dernière, consistera à ne conserver que les racines positives de cette équation.

Donc les racines strictement négatives seront donc systématiquement rejetées.

Si toutes ces racines sont strictement négatives, alors nous conclurons en disant que le problème est impossible.

2- Il arrive également que nous ayons à résoudre des problèmes portant sur des mesures dont les valeurs sont algébriques.

Dans ce cas, les racines strictement négatives de l’équation traduisant l’énoncé sont acceptables.

1ère application

1- Le triangle (ABC) dont les mesures géométriques sont :

AB = 5 cm
BC = 8 cm
CA = 10 cm

existe-t-il ?

Justifie ta réponse et construis-le géométriquement (avec la règle et le compas)


2- D’un point M quelconque appartenant au côté [AB], on mène une droite (Mt) parallèle à (BC) et rencontrant le côté [AC] au point N.

On pose AM = x cm.

Dans quel intervalle varie x ?

Calcule MN en fonction de x.


3- Du point N on mène une droite (Nu) parallèle à (AB) et rencontrant le côté [BC] au point P.

Quelle est la nature du quadrilatère (MNPB) ?

Calcule son périmètre en fonction de x.

Dans quel intervalle varie P ?

Solution

1-

On a :

10 – 5 < 8 < 10 + 5 ou CA – AB < BC < CA + AB

Ces longueurs vérifiant l’inégalité triangulaire, le triangle (ABC) existe et on peut le construire.

Avec la règle on trace un segment [AC] de mesure géométrique égale à 10 cm.

Du point C, avec une ouverture de compas égale à 8 cm, on trace un arc de cercle (l).

Du point A, avec une ouverture de compas égale à 5 cm, on trace un arc de cercle (m).

(l) et (m) se coupent au point B recherché.

On obtient ainsi le triangle (ABC) demandé.

 

2-

Le point M appartenant à [AB], x varie de 0 cm (M confondu avec A) à 5 cm (M confondu avec B).

Donc x parcourt l’intervalle [0cm , 5cm].
 

(MN) étant parallèle à (BC), on peut appliquer le théorème de Thalès qui donne :


 

3-

Par construction on a :

(MN) et (BC) parallèles 

(NP) et (AB) parallèles

Le quadrilatère (MNPB), ayant ses côtés deux à deux opposés et parallèles, est donc un parallélogramme.

Désignons par P son périmètre.

Donc :

P = MN + BP + MB + NP = 2MN + 2MB = 2 (MN + MB)

Donc :

 

2ème application

Sur une droite orientée (x’x), munie d’une unité de mesure géométrique qui est 1 cm, on place les trois points A, B et C d’abscisses respectives :

xA  = + 2,5 ; xB  = – 3 ; xC = – 1

Trouve l’ensemble des points M de cette droite tels que :

Que peux-tu dire de la position du point M ?

 

Solution

Plaçons d’abord les points A, B et C sur la droite orientée (x’x) ; Nous désignerons par O son origine.

Posons x l’abscisse du point M appartenant à cette droite et vérifiant :



L’application de la relation de Chasles donne :

L’égalité donnée s’écrit donc :

Le point M a pour abscisse, l’opposée de celle du point C ; donc M est le symétrique de C dans la symétrie centrale de centre O.

 

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Sixième partie

 

Application à la Physique

Deux villes A et B se trouvent séparées pratiquement par une voie de liaison routière droite.
La distance qui les sépare est de 350 km.

Un mobile M part de A et à destination de B, à 8h, et roule à vitesse moyenne de 80 km/h.

Un mobile N part de B et à destination de A, à la même heure, et roule à vitesse moyenne de 90 km/h.

On te demande de calculer :

1- l’instant de leur croisement

2- la distance qui les séparera de B lors de leur croisement sur la route


Solution

1-

Si les deux véhicules M et N roulent en permanence et constamment à leurs vitesses respectives, alors ils devront nécessairement se croiser à un moment au-delà de 8 heures ; ainsi, une solution négative de t n’est pas acceptable.

A 8 heures, c’est-à-dire à l’instant t = 0, les deux voitures M et N sont respectivement à 0 km et à 350 km de A.

La route qui sépare A de B étant droite, traçons alors une droite orientée (x’x), sur laquelle nous positionnerons A et B.

Choisissons comme sens positif le sens de parcours de A vers B.

Par simplification, nous prendrons la ville A comme origine de cette droite orientée.

 

M se déplace de A vers B ; donc son sens de parcours est positif. La mesure algébrique de sa vitesse, à tout instant t, sera alors positive.

Posons VM cette mesure algébrique.

N se déplace de B vers A ; donc son sens de parcours est négatif.

La mesure algébrique de sa vitesse, à tout instant t, sera alors négative.

Posons VN cette mesure algébrique.

 

A étant l’origine et M partant de A à l’instant 0 (c’est-à-dire à 8h), son équation horaire à tout instant t sera :



A étant l’origine, N partant de B à l’instant 0 (c’est-à-dire à 8h) et en appliquant la relation de Chasles, son équation horaire à tout instant t sera :



Ainsi, en remplaçant chaque terme connu par sa valeur, nous obtenons :



 

A leur croisement, les deux voitures sont à égale distance de A, et nous devons avoir l’égalité :

XM  = XN qui est logiquement équivalente à +80t = +350 – 90t.

Cette dernière équation s’écrit :



La division euclidienne de 35 par 17 donne :

2 pour quotient et 1 pour reste

 

Le reste 1h, converti en minutes, donne 60 minutes.

La division euclidienne de 60 par 17 donne :

3 pour quotient et 9 pour reste

 

Le reste 9 minutes, converti en secondes, donne 9x60 secondes ou 540 secondes.

La division euclidienne de 540 par 17 donne :

31,7 pour quotient

 

Ainsi l’instant t du croisement des deux véhicules est égal à :

2 heures 3 minutes 31,7 secondes.

Donc le croisement de M et de N a lieu à :

8h + 2h 3min 31,7s =
10h 3min 31,7s

 

2-

Pour calculer la distance qui les sépare de B à l’instant du croisement, on appliquera la relation de Chasles qui donne :



La distance (donc la valeur absolue de cette dernière mesure algébrique calculée) qui les sépare de B, à l’instant où ils se croisent est donc :


 




Application à la vie courante

Un père de famille a 39 ans et sa fille aînée Anna en a 16.

Dans combien d’années l’âge du père sera le double de celui de sa fille aînée ?

Attention : il peut arriver dans la vie courante qu’une solution négative ait un sens.

Ainsi, dans notre exemple, une solution négative signifie que l’évènement a déjà eu lieu (dans le passé).

Exemple : Reprends le même énoncé avec, cette fois, le père ayant 49 ans et Anna, 25 ans.

Solution

Soit x le nombre d’années qu’il faudra pour que l’âge du père devienne le double de celui de sa fille aînée.

Les données du problème :

Dans x années, l’âge du père sera x + 39 et celui de sa fille, x + 16.

Et à ce moment on devra avoir l’équation suivante :

x + 39 = 2(x + 16) ou x + 39 = 2x + 32 ou

x + opp(x) + 39 = 2x + opp(x) + 32

On sait que opp(x) est égal à –x et que x + opp(x) est égale à 0.

Donc 0 + 39 = 2x – x + 32 ou 39 = x + 32 ou

39 + opp(32) = x + 32 + opp(32) ou 39 + (–32) = x ou
x = 7

L’âge du père sera le double de celui de sa fille dans 7 ans.

 

En reprenant le même énoncé avec, cette fois, le père ayant 49 ans et Anna, 25 ans, on obtient l’équation :

x + 49 = 2(x + 25) ou x + 49 = 2x + 50 ou 2x – x = 49 – 50 ou

x = –1

L’âge du père était le double de celui de sa fille, il y a 1 an.

 

 

Les cas particuliers de résolution de l’équation dans un ensemble différent de R

Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers naturels l’équation suivante où x est l’inconnue :

– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0

L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N.

 

Solution

Pour que ce produit soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ses facteurs qui le composent soit nul ; ainsi :

– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12) = 0 si et seulement si :

– 3x = 0 ou (x + 1) = 0 ou (x + 2) = 0 ou (x2 – 7x + 12) = 0

Ce qui est logiquement équivalent à :


x = 0 ou x = – 1 ou x = – 2 ou (x2 – 7x + 12) = 0

 

Les valeurs – 1 et – 2 trouvées pour l’inconnue x devront être exclues car elles n’appartiennent pas à N : elles ne satisfont pas la condition émise par l’énoncé.

Il reste à résoudre l’équation x2 – 7x + 12 = 0.

Pour cela, on devra factoriser (si cela est possible) le premier membre.

On constate que l’expression (x2 – 7x) peut se mettre sous la forme :



Or, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2  implique  a2 – 2ab = (a – b)2 – b2

On obtient :




Conclusion :

L’équation donnée admet dans N les trois racines :  0, 3 et 4.

L’ensemble des solutions de cette équation est donc {0 ; 3 ; 4}.

 

 

On donne l’équation :

(m – 2)x  – 15 = 0

Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle une racine  dans N ?

Trouve la racine pour chaque cas.

Solution

D’abord (m – 2) doit être différente de 0 ; donc m doit être différent de 2.

L’équation peut s’écrire :

(m – 2)x  = 15

 

Pour qu’elle admette une racine appartenant à N, c’est-à-dire une racine entière, il faut que (m – 2) divise 15.

Or, les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.

Il faut donc que :

m – 2 = 1  ou  m – 2 = 3  ou  m – 2 = 5  ou  m – 2 = 15

Ainsi,

m – 2 = 1 donne m = 1 + 2 = 3 ;

m – 2 = 3 donne m = 3 + 2 = 5 ;

m – 2 = 5 donne m = 5 + 2 = 7 ;

m – 2 = 15 donne m = 15 + 2 = 17.

 

Toutes ces valeurs de m étant différentes de 2, l’équation donnée admet une racine appartenant à N si m appartient à l’ensemble {3 ; 5 ; 7 ; 17}.

 

Pour m = 3, l’équation  s’écrit :

(3 – 2)x – 15 = 0

Donc, x – 15 = 0 ou x = 15.

 

Pour m = 5, l’équation  s’écrit :

(5 – 2)x – 15 = 0

Donc, 3x – 15 = 0 ou 3x = 15 ou x = 5.

 

Pour m = 7, l’équation  s’écrit :

(7 – 2)x – 15 = 0

Donc, 5x – 15 = 0 ou 5x = 15 ou x = 3.

 

Pour m = 17, l’équation  s’écrit :

(17 – 2)x – 15 = 0

Donc, 15x – 15 = 0 ou 15x = 15 ou x = 1.

 

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Septième partie

 
 

4-4- Systèmes d’équations

4-4-1 Définition

On te donne deux équations telles que chacune d’elles contient exactement et les mêmes, deux inconnues x et y et est du premier degré par rapport à chacune de ces inconnues.

Tu obtiens ainsi un
système de deux équations à deux inconnues, x et y, du premier degré par rapport à x et à y
.

La forme générale de ce
système est :

avec a, b, a’, b’ des coefficients réels généralement non nuls quelconques ; c et c’ des coefficients réels quelconques ; x et y les deux inconnues.

Résoudre ce système consiste à trouver par le calcul les couples (x ; y) vérifiant
simultanément le première équation (1) et la seconde équation (2).

 

Exemples :



est un système de deux équations à deux inconnues, x et y, du premier degré par rapport à x et à y.



est un système de deux équations à deux inconnues, u et v, du premier degré par rapport à u et à v.

 

 

4-4-2 Résolution du système de deux équations à deux inconnues, du premier degré par rapport à ces inconnues

Résolution par comparaison

Soit à résoudre le système :



On peut déduire de l’équation (1) y en fonction de x ; on écrit :



On peut déduire de l’équation (2) y en fonction de x ; on écrit :



On compare les deux valeurs obtenues de y en écrivant qu’elles doivent être identiques :



On obtient ainsi une équation en x, du premier degré par rapport à x, qu’on sait résoudre :



On obtient ainsi la valeur de x.

 

On obtient ainsi la valeur de y.

 

 

Résolution par élimination

Soit à résoudre le système :



Multiplions les deux membres de (2) par
5 différent de 0 ; on obtient une équation logiquement équivalente :

5x – 5y = 5

Donc le système donné est logiquement équivalent au système suivant :

En additionnant membre à membre les deux équations de ce système, on obtient :

(2x + 5y) + (5x – 5y) = 3 + 5 ou 7x = 8 ou

On a ainsi calculé la valeur de l'inconnue x par élimination de y.

Pour calculer y, il suffit de remplacer dans (1’) ou dans (2’), x par cette valeur calculée.

Ainsi, le système donné admet une seule solution, le couple :

 

Résolution par substitution

Reprenons le système ci-dessus :

De (2), on peut déduire x en fonction de y :



En remplaçant
dans (1), x par son égale (1 + y), on obtient une équation en y :

(2) donne :

On retrouve la même solution :

 

Méthode générale de résolution

Système de la forme :

avec a, b, a’, b’, nombres réels non nuls quelconques ; c et c’ nombres réels quelconques


Soit à résoudre le système :



avec a, a’, b, b’, nombres réels
non nuls quelconques ; c et c’ nombres réels quelconques

En multipliant les deux membres de (1) par a’ différent de 0, on obtient l’équation logiquement équivalente :

aa’x + ba’y = ca’

En multipliant les deux membres de (2) par (–a) différent de 0, on obtient l’équation logiquement équivalente :

(–a)a’x + (–a)b’y = (–a)c’

Le système donné est donc logiquement équivalent à :

En additionnant membre à membre, on obtient :

(aa’x + ba’y) + (–aa’x – ab’y) = ca’ – ac’ ou

ba’y – ab’y = ca’ – ac’ ou (ba’ – ab’)y = ca’ – ac’ ou

(–1) (ba’ – ab’)y = (–1)( ca’ – ac’) ou

(ab’ – ba’)y = ac’ – ca’   

 

En multipliant les deux membres de (1) par b’ différent de 0, on obtient l’équation logiquement équivalente :

b’ax + b’by = b’c

En multipliant les deux membres de (2) par (–b) différent de 0, on obtient l’équation logiquement équivalente :

(–b)a’x + (–b)b’y = (–b)c’

Le système donné est donc logiquement équivalent à :

En additionnant membre à membre, on obtient :

(b’ax + b’by) + (–ba’x – bb’y) = b’c – bc’ ou

b’ax – ba’x = b’c – bc’ ou (b’a – a’b)x = b’c – bc’ ou

(ab’ – ba’)x = cb’ – bc’   

 

On obtient donc les deux égalités permettant, sous certaines conditions, de calculer les inconnues x et y :

(ab’ – ba’)y = ac’ – ca’    (3)

(ab’ – ba’)x = cb’ – bc’    (4)

Premier cas
: (ab’ – ba’) = ac’ – ca’ = cb’ – bc’ = 0

On obtient :

0y = 0
0x = 0

Pour tout réel x, pour tout réel y, ces deux dernières équations sont vérifiées.

Le système admet une infinité de solutions (x ; y), avec x et y nombres réels.

Or, (ab’ – ba’) = ac’ – ca’ = cb’ – bc’ = 0 donne :



Finalement,
on obtient :

Conclusion :

 

Deuxième cas : (ab’ – ba’) = 0 et [(ac’ – ca’) différente de 0 ou (cb’ – bc’) différente de 0]

Dans ce cas on obtient un des systèmes suivants :

avec les quantités (ac’ – ca’) et (cb’ – bc’) différentes de 0  

 

 



avec les quantités (cb’ – bc’) différente de 0 et (ac’ – ca’) nulle

 

 



avec les quantités (ac’ – ca’) différente de 0 et
(cb’ – bc’) nulle

Le premier système n’admet aucune solution (x ; y) avec x et y nombres réels
car une quantité
nulle
(premier membre) ne peut être simultanément égale à une autre quantité non nulle :

ac’ – ca’ ou cb’ – bc’

Le second système n’admet aucune solution (x ; y) avec x et y nombres réels car sa seconde équation est impossible [une quantité nulle (0 . x) ne peut être simultanément égale à (cb’ – bc’) différente de 0].

Le troisième système n’admet aucune solution (x ; y) avec x et y nombres réels
car sa première équation est impossible [une quantité nulle (0 . y) ne peut être simultanément égale à (ac’ – ca’) différente de 0].

 

Par ailleurs, (ab’ – ba’) = 0 est logiquement équivalente à :

 

Conclusion :

 

Troisième cas : (ab’ – ba’) non nulle

On peut alors diviser les deux membres de chacune des équations (3) et (4) par la quantité
non nulle
(ab’ – ba’)
 ; on obtient ainsi :

 

Conclusion :

Si (ab’ – ba’) est différente de 0, alors le système donné admet une seule solution (x ; y) :

 

 

Conclusion générale

Soit à résoudre le système :



avec a, a’, b, b’, nombres réels non nuls quelconques ; c et c’ nombres réels quelconques


La quantité (ab’ – ba’) est nommé déterminant du système ou encore déterminant de Cramer.

On pose D = ab’ – ba’.

Si D est nul alors le système admet une infinité de solutions ou est impossible.

Si D est différent de 0 alors le système admet une seule solution.

 

Méthode rapide pour calculer les solutions du système, si elles existent, c'est-à-dire si :

D = ab’ – ba’ est non nulle

 

On reprend le système :

Calcul du déterminant de Cramer, D

Définition préalable

m, n, p et q étant quatre nombres réels quelconques, chacune des quantités :

sont appelées déterminants.

 

Elles se calculent comme suit :

1-

On effectue d'abord les produits en croix, c’est-à-dire :

m.q d’abord et n.p ensuite.

2-

On soustrait le second produit (n.p) du premier (m.q) ; on obtient ainsi :

On écrit :

 

Retour à notre cas

Pour notre système ci-dessus, le déterminant de Cramer, D, est donc la quantité supposée non nulle :

 

Calcul de x et de y

On reprend le déterminant D précédent :

Calcul de x

On remplace les coefficients a et a’ de x respectivement par c et c’ ; on obtient un nouveau déterminant :

On obtient :

Calcul de y

On remplace les coefficients b et b’ de y respectivement par c et c’ ; on obtient un nouveau déterminant :

On obtient :

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Huitième partie

Exemples :

Soit à résoudre :



Solution

On a :

a = +2 ; b = +3 ; c = +1 ; a’ = +1 ; b’ = – 4 ; c’ = +3

On calcule d’abord le déterminant D de ce système.

D = ab’ – ba’ = (2).( – 4) – (+3).(+1) = (– 8) – (+3) = – 11, différent de 0.

Donc le système admet une seule solution (x ; y) telle que :


 


 


 

Soit à résoudre le système :



Solution

On a :

a = +2 ; b = +3 ; c = +4 ; a’ = +1 ; b’ = –4 ; c’ = +1

On calcule d’abord le déterminant D de ce système.

D = ab’ – ba’ = (+2).( – 4) – (+3).(+1) = (– 8) – (+3) = – 11, différent de 0.
 

Donc le système admet une seule solution (x ; y) telle que :



 

 

Soit à résoudre le système :



Solution

On a :

a = +5 ; b = –3 ; c = +1 ; a’ = +10 ; b’ = –6 ; c’ = +5

On calcule d’abord le déterminant D de ce système.

D = ab’ – ba’ = (+5).( – 6) – (–3).(+10) = (– 30) – (– 30) =

– 30 + 30 = 0.

Donc on a un des deux cas suivants :

- le système admet une infinité de solution

- le système est impossible

On doit calculer les deux quantités : (ac’ – ca’) et (cb’ – bc’)


On a :
 
ac’ – ca’ = (+5)(+5) – (+1)(+10) = +25 – (+10) = +15 différent de 0.

 

[D = 0 et (ac’ – ca’) différent de 0] ; alors le système est impossible.

 

 

Soit à résoudre le système :



Solution

On a :

a = +1 ; b = +7 ; c = +3 ; a’ = – 3 ; b’ = –21 ; c’ = – 9


Trouvons quelques unes de ces solutions.

Fixons x ; prenons par exemple x = + 4.

La première équation donne :


Fixons y ; prenons par exemple y = + 1.

La seconde équation donne :

Nous remarquons que (– 4 ; + 1) est également une solution de la première équation.

Donc
(– 4 ; + 1) est une seconde solution du système donné
.
 

 

 

Résoudre le système :



Solution

a = +2 , b = +3 , c = 0 , a’ = +1 , b’ = –2 , c’ = +1

D = ab’ – ba’ = (+2)( –2) – (+3)(+1) = (–4) – (+3) = –7 différent de 0.

Donc le système admet une seule solution (x ; y) telle que :


 

Résoudre le système :



Solution

a = +2 , b = –1 , c = 0 , a’ = +4 , b’ = –2 , c’ = +1

D = ab’ – ba’ = (+2)( –2) – (–1)(+4) = (–4) – (–4) = – 4 + 4 = 0.

Par ailleurs,  on a :

ac’ – ca’ = (+2)(+1) – (0)(+4) = +2 – 0 = +2 différent de 0.

Donc le système donné n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y sont des nombres réels.

 

 

Résoudre

Solution



Donc le système admet une seule solution.

On a :

 

 

4-4-3 Systèmes particuliers se ramenant à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues, du premier degré par rapport à ces inconnues

Système de la forme :



Solution

xy = b implique 2xy = 2b

x + y = a implique (x + y)2 = a2 ou x2 + 2xy + y2 = a2

En remplaçant dans cette dernière égalité 2xy par 2b, on obtient :

x2 + 2b + y2 = a2 ou x2 + y2 = a2 – 2b

 

Premier cas : (a2 – 2b) largement positive

On obtient donc le système :

En soustrayant membre à membre, on obtient :

x2 + y2 – 2xy = a2 – 2b – 2b ou (x – y)2 = a2 – 4b

Si (a2 – 4b) est largement positive
, alors on peut écrire :



Ainsi, le système donné est logiquement équivalent à l’ensemble des deux systèmes suivants :

 

En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.

 

Si (a2 – 4b) est strictement négative, alors le système n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.



Deuxième cas : (a2 – 2b) strictement négatif

 

x2 + y2 étant une quantité positive ne peut être égale à (a2 – 2b) négative.

Le système
n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.

 

Exemples

Résoudre



Solution

On calcule d’abord (a2 – 2b) :



Le système
n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.

 

Résoudre


 

Solution

On calcule d’abord (a2 – 2b) :

a2 – 2b = (4)2 – 2(3) = 16 – 6 = 10 > 0

 

x + y = 4 implique (x + y)2 = 16 ou x2 + 2xy + y2 = 16

En remplaçant dans cette dernière égalité 2xy par 2.(3) = 6, on obtient :

x2 + 6 + y2 = 16 ou x2 + y2 = 16 – 6 = 10

On obtient donc le système :

En soustrayant membre à membre, on obtient :

x2 + y2 – 2xy = 10 – 6 = 4 ou (x – y)2 = 4
> 0

On obtient ainsi :



 

Ainsi, le système donné est logiquement équivalent à l’ensemble des deux systèmes suivants :

 

Le premier système, par addition membre à membre, donne :

2x = 6 ou x = 3

En remplaçant x par 3 dans une de ses équations on trouve y = 1.

Le système donné admet donc comme première solution, (3 ; 1).

 

Le deuxième système, par addition membre à membre, donne :

2x = 2 ou x = 1

En remplaçant x par 1 dans une de ses équations on trouve y = 3.

Le système donné admet donc comme deuxième solution (1 ; 3).

Conclusion

L’ensemble des solutions du système donné est :

{(3 ; 1) , (1 ; 3)}.

 

Remarque importante :

(3 ; 1) et (1 ; 3) sont deux couples différents, car, (a ; b) est égal à (b ; a) si seulement si a = b.

 

Résoudre



Solution

On calcule d’abord (a2 – 2b) :



En remplaçant dans cette dernière égalité 2xy par 2.(1) = 2, on obtient :

x2 + 2 + y2 = 3 ou x2 + y2 = 3 – 2 = 1

On obtient donc le système :

En soustrayant membre à membre, on obtient :

x2 + y2 – 2xy = 1 – 2 = –1
< 0

Or, x2 + y2 – 2xy = (x – y) 2  étant positive ne peut être égale à (–1), quantité négative.

 

Le système n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.

 

 

Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Neuvième partie

 

Système de la forme :

Solution

xy = b implique 2xy = 2b

x – y = a implique (x – y)2 = a2 ou x2 – 2xy + y2 = a2

En remplaçant dans cette dernière égalité 2xy par 2b, on obtient :

x2 – 2b + y2 = a2 ou x2 + y2 = a2 + 2b

 

Premier cas : (a2 + 2b) largement positive

On obtient donc le système :

En additionnant membre à membre, on obtient :

x2 + y2 + 2xy = a2 + 2b + 2b ou (x + y)2 = a2 + 4b

Si (a2 + 4b) est largement positive
, alors on peut écrire :


 

Ainsi, le système donné est logiquement équivalent à l’ensemble des deux systèmes suivants :

 

 

En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.

 

Si (a2 + 4b) est strictement négative, alors le système n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.

 

Deuxième cas :(a2 + 2b) strictement négative

 

x2 + y2 étant une quantité positive ne peut être égale à (a2 + 2b) négative.

Le système
n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.

 

 

Système de la forme :

Solution

Notons d’abord les deux conditions que doivent remplir les inconnues situées aux dénominateurs, dans la première équation : il faut que x et y soient différentes de 0.

Remplaçons dans cette dernière égalité xy par son égale b; on obtient :



Ainsi, le système donné est logiquement équivalent au système :

 

Ce système a été résolu dans la huitième partie de ce chapitre.

 

Exemple

Résoudre :

Solution

D'abord, notons que x et y figurant aux dénominateurs de la première équation doivent être strictement positives.


 

Remplaçons dans cette dernière égalité xy par son égale 6; on obtient :



Ainsi, le système donné est logiquement équivalent au système :

Ce système a été traité dans la huitième partie de ce chapitre.

 

 

Système de la forme :

Solution

Le raisonnement est identique à celui suivi précédemment.

 

 

Système de la forme :



Solution

Le système est équivalent aux deux systèmes suivants :

 

Le premier, par addition membre à membre, donne :



Le second, par addition membre à membre, donne :

 

Premier cas : l’une au moins des deux quantités (a2 + 2b) et (a2 – 2b) est strictement négative.

(x + y)2 et (x – y)2 étant des quantités positives, ne peuvent être égales à des quantités négatives.

Le système n’admet aucune solution telle que (x ; y) avec x et y nombres réels.

 

Deuxième cas : les deux quantités (a2 + 2b) et (a2 – 2b) sont largement positives.

Alors le système est logiquement équivalent à l’ensemble des systèmes suivants :

 

En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.

 

Exemples

Résoudre le système :



Solution

a2 = 13 et b = 6

On calcule d’abord (a2 + 2b) et (a2 – 2b) :

a2 + 2b = 13 + (2).(6) = 13 + 12 = 25 > 0

a2 – 2b = 13 – (2).(6) = 13 – 12 = 1 > 0

Donc, le système est logiquement équivalent à l’ensemble des systèmes :



 

Le premier donne :

Le deuxième donne :

Le troisième donne :

Le quatrième donne :

L’ensemble des solutions du système donné est :

{(3 , 2) ; (2 , 3) ; (–2 , –3) ; (–3 , –2)}

 

Résoudre le système :


 

Solution

a2 = 13 et b = 12

On calcule d’abord (a2 + 2b) et (a2 – 2b) :

a2 + 2b = 13 + (2).(12) = 13 + 24 = 37 > 0

a2 – 2b = 13 – (2).(12) = 13 – 24 = –11 < 0 ; donc le système n’admet aucune solution telle que (x ; y) avec x et y nombres réels.

 

 

Système de la forme :


avec b différent de 0

Solution

On reconnaît ici la forme a2 – b2 dans la première équation.

Ainsi, x2 – y2 = a2
est logiquement équivalente à (x + y)(x – y) = a2.

Dans cette dernière égalité, remplaçons (x + y) par son égale b ; on obtient :

b(x – y) = a2

Puisque b est différent de 0, on peut en déduire que :

Le système donné est donc logiquement équivalent à :


En additionnant membre à membre, on obtient :



En remplaçant, dans une des équations du système, x par sa valeur trouvée, on calcule y :



Exemple

Résoudre :



Solution

On reconnaît ici la forme a2 – b2 dans la première équation.

Ainsi, x2 – y2 = 8
est logiquement équivalente à (x + y)(x – y) = 8.

Dans cette dernière égalité, remplaçons (x + y) par son égale 4 ; on obtient :

4(x – y) = 8 ou x – y = 2

Le système donné est donc logiquement équivalent à :



En additionnant membre à membre, on obtient :

2x = 6 ou
x = 3

En remplaçant dans une des équations du système x par sa valeur trouvée, on calcule y :

x + y = 4 ou
y = 4 – x = 4 – 3 = 1

 

 

Système de la forme :



avec a, b, m, n, (am + bn), nombres réels différents de 0

Solution

Les propriétés des proportions permettent d'écrire :

Ainsi, on a :



 

Exemple

Résoudre le système

Solution

Les propriétés des proportions permettent d'écrire :

Ainsi, on a :

 

 

Système de la forme :



avec m, n, (an + bm), nombres réels différents de 0

Solution

 

m étant différent de 0, on peut diviser les deux membres de la première équation par m ; on obtient :



En remplaçant dans la seconde équation x par son égale ainsi calculée, on obtient une équation en y :



En remplaçant y par sa valeur trouvée dans une des équations du système, on calcule x :

m étant différent de 0, on peut simplifier par m; on obtient :

 

Exemple

Résoudre le système :

Solution


En remplaçant dans la seconde équation x par son égale ainsi calculée, on obtient :

En remplaçant, dans une quelconque des équations du système, y par son égale ainsi trouvée, on calcule x :

 

 

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