Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Première partie
1- Expressions algébriques
1-1- Définitions
On appelle expression algébrique toute expression mathématique composée exclusivement de quantités et d’opérations (adition, soustraction, multiplication ou division) opérant sur ces quantités.
Exemples :
On appelle monôme toute expression algébrique composée d’une et d’une seule opération : la multiplication, opérant sur des quantités.
Exemples :
Chaque terme composant le monôme s’appelle facteur.
Un monôme est donc un produit de facteurs.
On appelle binôme toute somme algébrique de deux monômes.
Exemples :
On appelle trinôme toute somme algébrique de trois monômes.
Exemples :
Généralisation
On appelle polynôme toute somme algébrique de monômes, le nombre de monômes qui le composent étant quelconque.
Exemples :
Tous les monômes, binômes et trinômes donnés en exemple ci-dessus sont des polynômes particuliers.
1-2- Factorisation d’un polynôme ou d’une expression algébrique
Factoriser un polynôme (ou une expression algébrique) consiste à le (ou la) transformer en un produit (multiplication) de plusieurs quantités, chacune de ces quantités étant un polynôme qu’on appellera facteur.
Exemples :
Factorisons le polynôme :
–2a2b4c
– 4ab2c – 2ab3c3
Nous avons :
Montrons que le polynôme x3 – 3x2y + 3xy2
– y3 peut se mettre sous
la forme
:
(x –
y)(x – y)(x – y) = (x – y)3.
Développons (x – y)(x – y)(x – y) = (x – y)3.
(x – y)(x – y)(x – y)
= (x – y)[(x – y)(x – y)] =
(x – y)[(x – y)x – (x – y)y] = (x – y)[xx – yx – xy + yy] =
(x – y)[x2 – 2xy + y2] = x[x2 – 2xy
+ y2] – y[x2 – 2xy + y2] =
x(x2) – x(2xy) + x(y2) – y(x2) +
y(2xy) – y(y2) =
x3 – 2x2y + xy2 – yx2 +
2xy2 – y3
=
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
On dit alors que le polynôme x3
– 3x2y + 3xy2 – y3 peut se mettre
sous la forme
d’un produit de trois facteurs tous égaux à (x – y).
L’expression –3(2x + 5) + (x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)( –2x – 5) est identique à :
–3(2x
+ 5) + (x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)(
–1)(2x + 5)
=
(2x + 5)[ –3 + (x – 1) – (–1)(3x + 1)] =
(2x + 5)(
–3 + x – 1 + 3x + 1) =
(2x + 5)(4x – 3)
On dit alors que l’on
a factorisé
l’expression :
–3(2x + 5) +
(x – 1)(2x + 5) – (3x + 1)( –2x – 5)
en un produit de deux facteurs (2x + 5) et (4x – 3).
2- Égalité et propriétés
Définitions
Une relation composée de deux membres séparés par le symbole = est appelée égalité.
Exemples
3 = 3
5 = 2 + 3
–8,43 – 2,51 + 3 = –7,94
L’égalité 2a + 3 = 9 n’est vraie
dans l’ensemble des nombres entiers
naturels que si a = 3.
Elle est fausse pour toutes les
autres valeurs entières données à a.
L’égalité 2b – 3 = 0 est fausse quelle que soit la valeur entière naturelle donnée à b.
On dit alors qu’elle est fausse dans l’ensemble des nombres entiers naturels.
Mais en même temps, dans l’ensemble des nombres décimaux, elle est vraie pour b = 1,5.
L’égalité 0 . a = 7 ou encore 0a = 7 est fausse
quelle que soit la valeur entière
(naturelle ou relative) ou la valeur décimale (naturelle ou
relative) donnée à a.
On dit alors qu’elle est fausse dans l’ensemble des nombres
entiers naturels,
dans celui des nombres entiers
relatifs et dans celui des nombres
décimaux relatifs.
Propriétés
Soit (P) une égalité.
(P) est conservée si on ajoute ou on retranche une même quantité aux deux membres.
(P) est conservée si on multiplie par une même quantité les deux membres.
(P) est conservée si on divise par une même quantité non nulle les deux membres.
Exemples :
On
obtient une égalité si on ajoute aux deux membres de « 3 = 2 + 1 »
la quantité –1 ;
en effet :
3 + (–1)
= 2 +
1 + (–1)
ou encore 2 = 2
On obtient
une égalité si on retranche aux deux membres de « 3a =
2b + 1 »
la quantité « b » ; on écrit :
3a – b
= 2b +
1 – b = b + 1
On obtient une égalité si on divise les deux membres de « 6 = 5 + 1 » par la quantité « –2 différente de 0 » ; en effet :
Application
Toute égalité peut se transformer en une égalité ou expression de type :
A = 0
C’est-à-dire en une égalité dont le second membre est nul.
En effet, soit :
a = b
On peut
ajouter l’opposé du second membre « b » aux deux membres de cette
expression ; on obtient :
a + opp(b) = b + opp(b)
Or on sait que :
b + opp(b) = 0
Donc
finalement on obtient :
a + opp(b) = 0
Exemples :
3- Identités remarquables
3-1- Définition
Soit (P) une égalité quelconque comportant de lettres.
Soit E un ensemble quelconque d’objets.
On dira que (P) est une identité dans E si et seulement si elle est vraie quels que soient les objets appartenant à E, affectés aux lettres composant (P).
Exemples :
5 + a = 3 + 2 + a est une identité dans l’ensemble des nombres entiers naturels ; en effet, quel que soit le nombre entier naturel affecté à « a », l’expression « 5 + a = 3 + 2 + a » est vraie.
(a + b)(a – b) = a2 – b2 est une identité dite remarquable dans l’ensemble des nombres entiers relatifs : quel que soit le nombre entier relatif affecté à « a » et quel que soit le nombre entier relatif affecté à « b », (a + b)(a – b) = a2 – b2 est vraie.
Cette
même expression n’est pas vraie
dans l’ensemble des nombres entiers
naturels ; en effet, et par exemple,
pour a = 2 et b = 5, la quantité « a
– b » est
impossible dans l’ensemble des nombres
entiers naturels.
Donc (a + b)(a – b) = a2 – b2
n’est pas une identité dans cet ensemble.
Soient deux nombres entiers naturels a, b quelconques.
Développons :
(a + b)(a + b) ou encore (a + b)2
Nous avons :
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a.a + b.a + a.b + b.b = a2 + ba + ab + b2 =
a2 + 2ab + b2
Développons :
(a + b)(a + b)(a + b) ou encore (a + b)3
Nous avons :
(a + b)3
= (a + b)2(a + b) = [a2
+ 2ab + b2](a + b) =
[a2
+ 2ab + b2](a) + [a2
+ 2ab + b2](b) =
(a2)a
+ 2aba + (b2)a
+ (a2)b
+ 2abb + (b2)b
=
a3
+ 2a2b
+ ab2
+ a2b
+ 2ab2
+ b3
=
a3
+ 3a2b
+ 3ab2
+ b3
3-3- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres entiers relatifs
Soient deux nombres entiers relatifs a, b quelconques.
Les deux identités remarquables ci-dessus sont également vraies dans l’ensemble des nombres entiers relatifs.
On a donc :
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2b
+ 3ab2
+ b3
Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.
Développons :
(a – b)(a – b) ou encore (a – b)2
Nous avons :
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = (a – b)a – (a –b)b = aa – ba – ab + bb = a2 – 2ab + b2
Développons :
(a – b)(a – b)(a – b) ou encore (a – b)3
Nous avons :
(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)2(a – b) =
(a2 – 2ab +
b2)(a – b) =
(a2
– 2ab + b2)(a)
– (a2
– 2ab + b2)(b)
=
(a2)a
– 2aba + (b2)a
– (a2)b
+ 2abb – (b2)b
=
a3
– 2a2b
+ b2a
– a2b
+ 2ab2
– b3
=
a3
– 3a2b
+ 3ab2
– b3
Développons :
(a + b)(a – b)
Nous avons :
(a + b)(a – b) = (a + b)a – (a + b)b = aa + ba – ab – bb = a2 – b2
Développons :
(a + b)(a2 – ab + b2)
Nous avons :
(a + b)(a2 – ab + b2) = a(a2 – ab + b2) + b(a2 – ab + b2) =
a(a2)
– a(ab) + a(b2)
+ b(a2)
– b(ab) + b(b2)
=
a3
– a2b
+ ab2
+ a2b
– ab2
+ b3
=
a3
+ b3
Développons :
(a – b)(a2 + ab + b2)
Nous avons :
(a – b)(a2
+ ab + b2)
= a(a2
+ ab + b2)
– b(a2
+ ab + b2)
=
a(a2)
+ aab + a(b2)
– b(a2)
– b(ab) – b(b2)
=
a3
+ a2b
+ ab2
– a2b
– ab2
– b3
=
a3
– b3
3-4- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs
Les sept identités remarquables ci-dessus sont également vraies dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs.
On a donc :
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
=
a2
– 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.
3-5- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres rationnels
Un nombre est dit rationnel si et seulement s’il existe une fraction qui lui est égale et dont les numérateur et dénominateur sont des nombres entiers (naturels ou relatifs).
Exemples :
Il en est de même pour π, le nombre constant utilisé dans la formule qui donne le périmètre du cercle ou dans celle qui donne son aire.
Les sept identités remarquables ci-dessus, vraies dans l’ensemble des nombres entiers relatifs et dans l’ensemble des nombres décimaux relatifs, sont également vraies dans l’ensemble des nombres rationnels.
On a donc :
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
=
a2
– 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Les démonstrations sont les mêmes que ci-dessus.
3-6- Identités remarquables dans l’ensemble des nombres réels
Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.
L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels est appelé ensemble des nombres réels.
Les sept identités remarquables ci-dessus, vraies dans l’ensemble des nombres rationnels, sont également vraies dans l’ensemble des nombres réels.
On a donc :
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3
=
a3
– 3a2b
+ 3ab2
– b3
(a + b)(a – b)
=
a2
– b2
a3
+ b3
=
(a + b)(a2
– ab + b2)
a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2)
Les démonstrations sont les mêmes que celles développées dans la deuxième partie de ce cours.
3-7- Applications immédiates des identités remarquables
Les identités remarquables servent à développer des produits de facteurs
Exemples :
Développons (2x – 5)2.
(2x – 5)2 est de la forme (a – b)2, avec a = 2x et b = 5.
Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(2x – 5)2 = (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 = 4x2 – 20x + 25.
Nous pouvons donc appliquer l’identité
remarquable :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Nous pouvons donc appliquer l’identité remarquable :
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Les identités remarquables servent à factoriser des expressions algébriques
Exemples :
Factorisons l’expression :
Cette expression est de la forme a2
– 2ab + b2, avec a = 2x et b = y.
Or, a2 – 2ab + b2 est
identique à (a – b)2.
Nous pouvons donc
écrire :
4x2
– 4xy + y2 = (2x – y)2
Factorisons l’expression :
16x2 – y2
Cette expression est de la forme a2
– b2, avec a = 4x et b = y.
Or, a2 – b2 est
identique à (a + b)(a – b).
Nous pouvons donc
écrire :
16x2
– y2 = (4x + y)(4x – y)
Factorisons l’expression :
27a3 + b3
Cette expression est de la forme x3
+ y3, avec x = 3a et y = b.
Or, x3 + y3 est
identique à (x + y)(x2 – xy + y2).
Nous pouvons donc écrire :
27a3 + b3
= (3a + b)(9a2 – 3ab + b2)
Factorisons l’expression :
25x2 – 30xy – 40y2
Nous constatons d’abord que l’expression 25x2
– 30xy peut se mettre sous la forme :
a2 – 2ab, avec a = 5x et b = 3y.
Or, (a – b)2
= a2
– 2ab + b2
implique a2
– 2ab =
(a – b)2
– b2.
Ainsi, 25x2 – 30xy = (5x – 3y)2
– (3y)2 = (5x – 3y)2 –
9y2.
Dans l’expression donnée, remplaçons 25x2
– 30xy par son égale
(5x – 3y)2 – 9y2.
Nous obtenons :
(5x – 3y)2 – 9y2 – 40y2
= (5x – 3y)2 – 49y2
Or, (5x – 3y)2 – 49y2
est de la forme a2 – b2,
avec a = 5x – 3y et
b = 7y.
Nous savons que a2 – b2
est identique à (a + b)(a – b).
Nous pouvons donc écrire :
(5x – 3y)2 – 49y2 =
[(5x – 3y) + 7y][(5x – 3y) – 7y] =
(5x + 4y)(5x – 10y) = 5(5x + 4y)(x – 2y)
Conclusion :
25x2 – 30xy – 40y2 = 5(5x + 4y)(x – 2y)
4- Équations
4-1- Définitions
On appelle équation toute égalité comportant des quantités inconnues représentées généralement par des lettres.
Résoudre une équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs que peut prendre l’inconnue et pour lesquelles l’égalité est vérifiée. Ces valeurs sont appelées solutions ou racines de l’équation.
Exemples :
« x – 5 = 0 » est une
équation qui ne comporte qu’une quantité
inconnue : x.
On dira que « x – 5 = 0 » est
une équation à une
inconnue en x.
L’ensemble des solutions ou des racines de cette équation est {5}.
Cette équation admet deux solutions ou racines dans l’ensemble des nombres rationnels :
L’ensemble de ses racines se note donc :
Par contre, ces
racines
n’étant pas des nombres entiers (naturels ou
relatifs), on
dira alors que cette équation
n’admet aucune
racine ou solution dans l’ensemble des
nombres entiers relatifs et dans l’ensemble
des nombres entiers naturels.
Une équation à une inconnue est dite du nième degré par rapport à cette inconnue lorsque le plus grand exposant de cette inconnue dans l’expression de cette équation est égal à n.
Exemples :
Dans l’équation " 2x3 – 5x + 1 = 0 ", le plus grand exposant de l’inconnue x est 3. L’équation est donc à une inconnue, x et est du troisième degré par rapport à cette inconnue.
Dans l’équation " 3y2
– 1 = 5 ", le plus grand exposant de
l’inconnue y est
2.
L’équation est donc
à une inconnue, y
et est du second degré par rapport à cette
inconnue.
Dans l’équation " t – 2 = 1 " ou encore " t1
– 2 = 1" , le plus grand exposant de
l’inconnue t est
1.
L’équation est donc
à une inconnue, t
et est du premier degré par rapport à cette
inconnue.
Dans la suite, on se contentera d’étudier les équations à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, dans l’ensemble des nombres réels.
Cependant, il faut savoir que cette étude dépend aussi de l’ensemble auquel doivent appartenir la ou les solutions ; par exemple, résoudre une équation dans l’ensemble des nombres entiers naturels suppose que la propriété de divisibilité et que l’appartenance des racines à cet ensemble soient vérifiées.
On traitera par la suite et par des exemples quelques cas de ce type.
Toute équation à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, peut se mettre sous la forme générale :
ax + b = 0, avec a et b nombres réels quelconques et x, la quantité inconnue
Les quantités réelles connues a et b sont appelées coefficients de l’équation.
Exemple :
L’équation « 2z = – 7 » peut s’écrire :
2z + opp(–7) = (–7) + opp(–7)
Or, (–7) + opp(–7) =
0.
Donc 2z + opp(–7) =
2z + 7 = 0
Par abus de langage, on dira que l’on a fait passer le terme du second membre de l’équation dans le premier membre, en lui changeant son signe :
–7,
en passant
dans le premier membre, change de signe et
devient
+7.
4-2- Résolution de l’équation à une inconnue, du 1er degré par rapport à cette inconnue, dans l’ensemble des nombres réels.
1er cas : le coefficient a est nul
Dans ce cas, l’équation s’écrit :
0 . x + b = 0
Si b est nul,
alors l’équation se réduit à :
0 . x + 0 = 0
Quel que soit le nombre réel x, cette dernière égalité est vraie. On dira alors que l’équation admet une infinité de racines ou solutions dans l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble de ses racines est l’ensemble des nombres réels.
Si
b est différent de zéro,
alors l’équation se réduit à :
0 . x + b = 0, avec b différent de zéro
Ce qui peut s’écrire
aussi :
0 . x = – b , avec
– b différent de 0
Aucun nombre réel ne vérifie cette égalité, puisqu’une quantité nulle (1er membre de l’équation) ne peut à la fois être égale à une quantité non nulle (– b).
L’équation n’admet aucune solution dans l’ensemble des nombres réels.
2ème cas : le coefficient a est différent de zéro
Dans ce cas, l’équation s’écrit :
ax = – b
En divisant les deux membres de cette dernière égalité par la quantité a différente de zéro, on obtient :
L’équation admet une seule racine dans l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble de ses solutions ou racines s’écrit alors :
Résumé :
(a = b = 0)
implique que l’équation « ax + b = 0 » admet
une infinité de solutions dans l’ensemble
des nombres réels.
(a = 0 et b différent de 0) implique que
l’équation « ax + b = 0 » n’admet aucune
solution dans l’ensemble des nombres réels.
(a différent de 0) implique que l’équation « ax + b = 0 » admet une seule solution :
dans l’ensemble des nombres réels.
Dorénavant l’ensemble des nombres réels sera noté R.
Exemples :
Résoudre dans R l’équation :
3x – 5 = 0
Solution
a = 3, différent de 0 implique que
l’équation donnée admet une seule racine
dans R.
On a :
3x – 5 = 0 ou 3x – 5 + opp(– 5) = 0 + opp(–
5)
Or, – 5 + opp(– 5) = 0
Donc, 3x = 0 + opp(– 5) = 0 + 5 = + 5
En divisant les deux membres de cette dernière équation par 3 différent de 0, on obtient :
Pour quelles
valeurs de m cette équation admet-elle une
seule racine dans R ?
Trouve dans ce cas l’ensemble de ses solutions.
Solution
Cette équation admet une seule racine dans R pour (m – 2) différent de zéro ou encore pour m différent de 2.
Dans ce cas, on peut écrire :
En divisant les deux membres de cette dernière équation par (m – 2) différent de 0, on obtient :
Conclusion :
Quel que soit le nombre réel m différent de 2, l’ensemble des solutions réelles de cette équation est :
On donne dans R l’équation suivante :
(m – 1) x + (n + 2) = 0, où x est l’inconnue, m et n étant deux nombres réels quelconques.
Pour quelles valeurs de m et de n cette équation admet-elle une infinité de solutions dans R ?
Solution
Cette équation admet une infinité de
solutions dans R si et seulement si :
m – 1 = 0 et n + 2 = 0
Ainsi cette
équation admet une infinité de solutions
dans R si et seulement si :
m = + 1 et n = – 2
4-3- Applications
4-3-1- Propriété
Pour qu’un produit de plusieurs facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ces facteurs le soit.
On écrit alors :
A x B x C x ….. x M = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 ou C = 0 ou ….. ou M = 0
Remarque importante
Notons l’importance de la signification du mot « ou » :
il suffit qu’au moins un des facteurs soit nul pour que le produit le soit également.
Dans la rédaction de la solution, le remplacement de ce mot par « et » est une erreur grave en mathématiques et doit être évitée :
un énoncé de type « x = a et x = b, avec a différent de b » est faux ; x ne peut être simultanément égal à a et à b différent de a.
4-3-2- Résolution d’une équation de type A x B x C x ….. x M = 0 où chacun des facteurs est un monôme ou binôme du premier degré par rapport à l’inconnue
Exemples :
Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation suivante où x est l’inconnue :
2x(x – 1)(3x + 2)(–x + 3) = 0
Solution
Pour que ce produit
soit nul il faut et il suffit que
l’un quelconque, au
moins, de ses facteurs qui le composent soit
nul ; ainsi :
2x(x – 1)(3x + 2)( –x + 3) = 0 si et
seulement si 2x = 0 ou (x – 1) = 0 ou
(3x + 2) = 0 ou (–x + 3) = 0
Or,
2x = 0 ou x
= 0
x – 1 = 0 ou
x = + 1
–x + 3 = 0 ou –x + 3 + opp(+ 3) = 0 + opp(+ 3) ou –x = – 3 ou
Donc, 2x(x –
1)(3x + 2)( –x + 3) = 0 si et seulement si
:
L’ensemble des solutions dans R, de l’équation donnée est donc :
Résoudre dans
l’ensemble R l’équation suivante où x
est l’inconnue :
– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12)
= 0
Solution
Pour que ce produit
soit nul il faut et il suffit que
l’un quelconque, au
moins, de ses facteurs qui le composent soit
nul ;
ainsi :
– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12)
= 0 si et seulement si :
– 3x = 0 ou
(x + 1) = 0 ou
(x + 2) = 0 ou
(x2 – 7x + 12) = 0
Ce qui est logiquement équivalent à :
x = 0 ou x = – 1 ou x = – 2
ou (x2 – 7x + 12) = 0
Il reste à résoudre l’équation x2
– 7x + 12 = 0.
Pour cela, on devra factoriser (si cela est
possible) le premier membre.
On constate que l’expression (x2
– 7x) peut se mettre sous la forme :
Or, (a – b)2 = a2 –
2ab + b2 implique a2
– 2ab = (a – b)2 – b2
On obtient donc :
En remplaçant dans l’équation donnée, x2
– 7x par son égale :
on obtient :
Pour qu’un produit de facteurs soit nul il
faut et il suffit que l’un au moins de ces
facteurs le soit ; donc :
{–2 ; –1 ; 0 ; 3 ;
4}.
Remarque
L’équation donnée dans l’énoncé est dite à une inconnue x, du 5ème degré par rapport à cette inconnue ; il suffit de développer le premier membre et de constater que le plus grand exposant de l’inconnue x est 5.
Ainsi, à l’aide des identités remarquables et de la propriété énoncée au 4-3-1, on est parvenu à la résoudre.
On dit que nous avons ramené la résolution d’une équation du 5ème degré à celle d’un certain nombre d’équations du 1er degré.
Ainsi, souvent,
la
connaissance des identités remarquables et
de la propriété énoncée au 4-3-1
nous permet de
résoudre des équations dont le degré par
rapport à l’inconnue est strictement
supérieur
à 1.
4-3-3- Applications de la résolution d’une équation à une inconnue du 1er degré
Généralités
Dans divers domaines, comme celui des sciences et techniques, de l’économie, ou tout simplement celui de la vie courante, la résolution d’un problème peut être ramenée à celle d’une équation.
Pour cela, il faudra suivre la méthode générale suivante :
1- Lire
attentivement
l’énoncé du problème
Il s’agit là de
souligner
d’abord l’ensemble des
données,
hypothèses
et
conditions.
Ensuite, il faudra
repérer
l’inconnue
et sa nature au
regard des ensembles déjà définis en
Mathématiques : ensemble des nombres entiers naturels, ensemble des nombres
entiers relatifs, ensemble des
nombres décimaux, ensemble des
nombres rationnels, ensemble des
nombres réels.
2-
Mettre
l’énoncé en équation
Il s’agit de traduire l’énoncé en équation
mathématique.
3- Résoudre l’équation
4-
Vérifier les
solutions ou racines obtenues
au regard des
conditions
soulignées lors de l’application de la
première phase de la méthode.
Cette dernière phase
est très importante ; elle est souvent
ignorée par la majorité des élèves et est la
cause de leur échec dans la résolution du
problème :
ce n’est pas en
trouvant les racines de l’équation posée que
l’on aura ainsi résolu le problème !
Encore faut-il que ces racines
satisfassent
toutes les conditions du problème.
Application à la Géométrie
Remarques préalables :
1- Une mesure géométrique est positive. Par conséquent la résolution d’un problème de géométrie, en traduisant l’énoncé en une équation et en résolvant cette dernière, consistera à ne conserver que les racines positives de cette équation.
Donc les racines strictement négatives seront donc systématiquement rejetées.
Si toutes ces racines sont strictement négatives, alors nous conclurons en disant que le problème est impossible.
2- Il arrive également
que nous ayons à résoudre des problèmes
portant sur des mesures dont les valeurs
sont
algébriques.
Dans ce cas, les
racines
strictement négatives
de l’équation traduisant l’énoncé sont
acceptables.
1ère application
1- Le triangle (ABC) dont les mesures géométriques sont :
AB = 5 cm
BC = 8 cm
CA = 10 cm
existe-t-il ?
Justifie ta réponse et construis-le géométriquement (avec la règle et le compas)
2- D’un point M
quelconque appartenant au côté [AB], on mène
une droite (Mt) parallèle à (BC) et
rencontrant le côté [AC] au point N.
On pose AM = x cm.
Dans quel intervalle varie x ?
Calcule MN en fonction de x.
3- Du point N
on mène une droite (Nu) parallèle à (AB) et
rencontrant le côté [BC] au point P.
Quelle est la nature du quadrilatère (MNPB) ?
Calcule son périmètre en fonction de x.
Dans quel intervalle varie P ?
Solution
1-
On a :
10 – 5 < 8 < 10 + 5 ou CA – AB < BC < CA + AB
Ces longueurs vérifiant l’inégalité triangulaire, le triangle (ABC) existe et on peut le construire.
Avec la règle on trace un segment [AC] de mesure géométrique égale à 10 cm.
Du point C, avec une ouverture de compas égale à 8 cm, on trace un arc de cercle (l).
Du point A, avec une ouverture de compas égale à 5 cm, on trace un arc de cercle (m).
(l) et (m) se coupent au point B recherché.
On obtient ainsi le triangle (ABC) demandé.
2-
Le point M appartenant à [AB], x varie de 0 cm (M confondu avec A) à 5 cm (M confondu avec B).
Donc
x parcourt
l’intervalle [0cm , 5cm].
(MN) étant parallèle à (BC), on peut appliquer le théorème de Thalès qui donne :
Par construction on a :
(MN) et (BC) parallèles
(NP) et (AB) parallèles
Le quadrilatère (MNPB), ayant ses côtés deux à deux opposés et parallèles, est donc un parallélogramme.
Désignons par P son périmètre.
Donc :
P = MN + BP + MB + NP = 2MN + 2MB = 2 (MN + MB)
Donc :
2ème application
Sur une droite orientée (x’x), munie d’une unité de mesure géométrique qui est 1 cm, on place les trois points A, B et C d’abscisses respectives :
xA = + 2,5 ; xB = – 3 ; xC = – 1
Trouve l’ensemble des points M de cette droite tels que :
Que peux-tu dire de la position du point M ?
Solution
Plaçons d’abord les points A, B et C sur la droite orientée (x’x) ; Nous désignerons par O son origine.
Posons x l’abscisse du point M appartenant à cette droite et vérifiant :
L’application de la relation de Chasles
donne :
L’égalité donnée s’écrit donc :
Le point M a pour abscisse, l’opposée de celle du point C ; donc M est le symétrique de C dans la symétrie centrale de centre O.
Application à la Physique
Deux villes A
et B se trouvent séparées pratiquement par
une voie de liaison routière droite.
La
distance qui les sépare est de 350 km.
Un mobile M part de A et à destination de B, à 8h, et roule à vitesse moyenne de 80 km/h.
Un mobile N part de B et à destination de A, à la même heure, et roule à vitesse moyenne de 90 km/h.
On te demande de calculer :
1- l’instant de leur croisement
2- la distance qui les séparera de B lors de leur croisement sur la route
Solution
1-
Si les deux véhicules M et N roulent en permanence et constamment à leurs vitesses respectives, alors ils devront nécessairement se croiser à un moment au-delà de 8 heures ; ainsi, une solution négative de t n’est pas acceptable.
A 8 heures, c’est-à-dire à l’instant t = 0, les deux voitures M et N sont respectivement à 0 km et à 350 km de A.
La route qui sépare A de B étant droite, traçons alors une droite orientée (x’x), sur laquelle nous positionnerons A et B.
Choisissons comme sens positif le sens de parcours de A vers B.
Par simplification, nous prendrons la ville A comme origine de cette droite orientée.
M se déplace de A vers
B ; donc son sens de parcours est
positif.
La mesure
algébrique de
sa vitesse, à
tout instant t,
sera alors positive.
Posons VM cette mesure
algébrique.
N se déplace de B vers A ; donc son sens de parcours est négatif.
La
mesure algébrique
de sa vitesse, à
tout instant t,
sera alors négative.
Posons VN cette mesure
algébrique.
A étant l’origine et M partant de A à l’instant 0 (c’est-à-dire à 8h), son équation horaire à tout instant t sera :
A étant l’origine, N
partant de B à l’instant 0 (c’est-à-dire à
8h) et en appliquant la relation de Chasles, son
équation horaire
à tout
instant t
sera :
Ainsi, en remplaçant chaque terme connu par
sa valeur, nous obtenons :
A leur
croisement,
les deux voitures sont
à égale distance de
A,
et nous devons avoir l’égalité :
XM = XN qui est
logiquement équivalente à +80t = +350 – 90t.
Cette dernière équation s’écrit :
La division euclidienne de 35 par 17 donne :
2 pour quotient et 1 pour reste
Le reste 1h, converti en minutes, donne 60 minutes.
La division euclidienne de 60 par 17 donne :
3 pour quotient et 9 pour reste
Le reste 9 minutes, converti en secondes, donne 9x60 secondes ou 540 secondes.
La division euclidienne de 540 par 17 donne :
31,7 pour quotient
Ainsi l’instant t du croisement des deux véhicules est égal à :
2 heures 3 minutes 31,7 secondes.
Donc le croisement de
M et de N a lieu à :
8h + 2h 3min 31,7s =
10h 3min 31,7s
2-
Pour calculer la distance qui les sépare de B à l’instant du croisement, on appliquera la relation de Chasles qui donne :
La distance (donc la valeur
absolue de cette dernière mesure algébrique calculée) qui les sépare de B, à l’instant
où ils se croisent est donc :
Application à la vie courante
Un père de famille a 39 ans et sa fille aînée Anna en a 16.
Dans combien d’années l’âge du père sera le double de celui de sa fille aînée ?
Attention : il peut arriver dans la vie courante qu’une solution négative ait un sens.
Ainsi, dans notre exemple, une solution négative signifie que l’évènement a déjà eu lieu (dans le passé).
Exemple : Reprends le même énoncé avec, cette fois, le père ayant 49 ans et Anna, 25 ans.
Solution
Soit x le nombre d’années qu’il faudra pour que l’âge du père devienne le double de celui de sa fille aînée.
Les données du problème :
Dans x années, l’âge du père sera x + 39 et celui de sa fille, x + 16.
Et à ce moment on
devra avoir l’équation suivante :
x + 39 = 2(x + 16) ou x + 39 = 2x + 32 ou
x + opp(x) + 39 = 2x + opp(x) + 32
On sait que opp(x) est égal à –x et que x +
opp(x) est égale à 0.
Donc 0 + 39 = 2x – x + 32 ou 39 = x + 32 ou
39 + opp(32) = x + 32 + opp(32) ou 39 +
(–32) = x ou
x = 7
L’âge du père sera le double de celui de sa
fille dans 7 ans.
En reprenant le même énoncé avec, cette fois, le père ayant 49 ans et Anna, 25 ans, on obtient l’équation :
x + 49 = 2(x + 25) ou x + 49 = 2x + 50 ou 2x – x = 49 – 50 ou
x = –1
L’âge du père était le double de celui de sa fille, il y a 1 an.
Les cas particuliers de résolution de l’équation dans un ensemble différent de R
Résoudre dans
l’ensemble des nombres entiers naturels
l’équation suivante où x est l’inconnue :
– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12)
= 0
L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N.
Solution
Pour que ce produit soit nul il faut et il suffit que l’un quelconque, au moins, de ses facteurs qui le composent soit nul ; ainsi :
– 3x(x + 1)(x + 2)(x2 – 7x + 12)
= 0 si et seulement si :
– 3x = 0 ou
(x + 1) = 0 ou
(x + 2) = 0 ou
(x2 – 7x + 12) = 0
Ce qui est logiquement équivalent à :
x = 0 ou
x = – 1 ou
x = – 2
ou (x2 – 7x + 12) = 0
Les valeurs
– 1
et
– 2 trouvées
pour l’inconnue x devront être
exclues
car elles
n’appartiennent pas à N :
elles ne
satisfont pas la condition émise par
l’énoncé.
Il reste à résoudre l’équation x2
– 7x + 12 = 0.
Pour cela, on devra factoriser (si cela est
possible) le premier membre.
On constate que l’expression (x2
– 7x) peut se mettre sous la forme :
Or, (a – b)2 = a2 –
2ab + b2 implique a2
– 2ab = (a – b)2 – b2
On obtient :
Conclusion :
L’équation donnée admet dans N les
trois racines : 0, 3 et 4.
L’ensemble des solutions de cette équation
est donc {0 ; 3 ; 4}.
On donne l’équation :
(m – 2)x – 15 = 0
Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle une racine dans N ?
Trouve la racine pour chaque cas.
Solution
D’abord (m – 2) doit être différente de 0 ; donc m doit être différent de 2.
L’équation peut s’écrire :
(m – 2)x = 15
Pour qu’elle admette une racine appartenant à N, c’est-à-dire une racine entière, il faut que (m – 2) divise 15.
Or, les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.
Il faut donc que :
m – 2 = 1 ou m – 2 = 3 ou m – 2 = 5 ou m – 2 = 15
Ainsi,
m – 2 = 1 donne m = 1 + 2 = 3 ;
m – 2 = 3 donne m = 3 + 2 = 5 ;
m – 2 = 5 donne m = 5 + 2 = 7 ;
m – 2 = 15 donne m = 15 + 2 = 17.
Toutes ces valeurs de m étant différentes de 2, l’équation donnée admet une racine appartenant à N si m appartient à l’ensemble {3 ; 5 ; 7 ; 17}.
Pour m = 3, l’équation s’écrit :
(3 – 2)x – 15 = 0
Donc, x – 15 = 0 ou x = 15.
Pour m = 5, l’équation s’écrit :
(5 – 2)x – 15 = 0
Donc, 3x – 15 = 0 ou 3x = 15 ou x = 5.
Pour m = 7, l’équation s’écrit :
(7 – 2)x – 15 = 0
Donc, 5x – 15 = 0 ou 5x = 15 ou x = 3.
Pour m = 17, l’équation s’écrit :
(17 – 2)x – 15 = 0
Donc, 15x – 15 = 0 ou 15x = 15 ou x = 1.
4-4- Systèmes d’équations
4-4-1 Définition
On te donne deux
équations telles que chacune d’elles
contient exactement et les mêmes, deux inconnues x et y et est
du premier degré par rapport à chacune de
ces inconnues.
Tu obtiens ainsi un
système de deux
équations à deux inconnues, x et y, du
premier degré par rapport à x et à y.
La forme générale de ce
système
est :
avec a, b, a’, b’ des
coefficients réels généralement
non nuls
quelconques ; c et c’ des coefficients réels
quelconques ; x et y les deux inconnues.
Résoudre ce système consiste à
trouver par le calcul les couples (x ; y)
vérifiant
simultanément
le première équation (1) et la
seconde équation (2).
Exemples :
est un système de deux équations à deux
inconnues, x et y, du premier degré par
rapport à x et à y.
est un système de deux équations à deux
inconnues, u et v, du premier degré par
rapport à u et à v.
4-4-2 Résolution du système de deux équations à deux inconnues, du premier degré par rapport à ces inconnues
Résolution par comparaison
Soit à résoudre le système :
On peut déduire de l’équation (1) y en
fonction de x ; on écrit :
On peut déduire de l’équation (2) y en
fonction de x ; on écrit :
On compare les deux
valeurs obtenues de y en écrivant
qu’elles doivent
être identiques :
On obtient ainsi une équation en x, du
premier degré par rapport à x, qu’on sait
résoudre :
On obtient ainsi la valeur de x.
On obtient ainsi la valeur de y.
Résolution par élimination
Soit à résoudre le système :
Multiplions les deux membres de (2) par
5 différent
de 0 ; on
obtient une équation logiquement
équivalente :
5x – 5y = 5
Donc le système donné est logiquement
équivalent au système suivant :
En additionnant membre à membre les deux équations de ce système, on obtient :
(2x + 5y) + (5x – 5y) = 3 + 5 ou 7x = 8 ou
On a ainsi calculé la valeur de l'inconnue x par élimination de y.
Pour calculer y, il suffit de remplacer dans (1’) ou dans (2’), x par cette valeur calculée.
Ainsi, le système donné admet une seule solution, le couple :
Résolution par substitution
Reprenons le système ci-dessus :
De (2), on peut déduire x en fonction de y :
En remplaçant
dans (1), x par son égale (1 + y),
on obtient une équation en y :
(2) donne :
On retrouve la même solution :
Méthode générale de résolution
Système de la
forme :
avec a, b, a’, b’, nombres réels non nuls quelconques ; c et c’ nombres réels quelconques
Soit à résoudre le
système :
avec a, a’, b, b’, nombres réels
non nuls
quelconques ; c et c’
nombres réels quelconques
En multipliant les deux membres de (1) par a’ différent de 0, on obtient l’équation logiquement équivalente :
aa’x + ba’y = ca’
En multipliant les deux membres de (2) par
(–a) différent de 0, on obtient
l’équation logiquement équivalente :
(–a)a’x + (–a)b’y = (–a)c’
Le système donné est donc logiquement
équivalent à :
En additionnant membre à membre, on obtient :
(aa’x + ba’y) + (–aa’x – ab’y) = ca’ – ac’ ou
ba’y – ab’y = ca’ – ac’ ou (ba’ – ab’)y = ca’ – ac’ ou
(–1) (ba’ – ab’)y = (–1)( ca’ – ac’) ou
(ab’ – ba’)y =
ac’ – ca’
En multipliant les deux membres de (1) par
b’ différent de 0, on obtient
l’équation logiquement équivalente :
b’ax + b’by = b’c
En multipliant les deux membres de (2) par
(–b) différent de 0, on obtient
l’équation logiquement équivalente :
(–b)a’x + (–b)b’y = (–b)c’
Le système donné est donc logiquement
équivalent à :
En additionnant membre à membre, on obtient
:
(b’ax + b’by) + (–ba’x – bb’y) = b’c – bc’
ou
b’ax – ba’x = b’c – bc’ ou
(b’a – a’b)x = b’c – bc’ ou
(ab’ – ba’)x =
cb’ – bc’
On obtient donc les deux égalités permettant, sous certaines conditions, de calculer les inconnues x et y :
(ab’ – ba’)y = ac’ – ca’ (3)
(ab’ – ba’)x = cb’ – bc’ (4)
Premier cas :
(ab’ – ba’) =
ac’ – ca’ = cb’ – bc’ = 0
On obtient :
0y = 0
0x = 0
Pour tout
réel x, pour
tout réel y,
ces deux
dernières équations
sont vérifiées.
Le système
admet une infinité de solutions (x ; y),
avec x et y nombres réels.
Or, (ab’ – ba’) = ac’ – ca’ = cb’ – bc’ = 0 donne :
Finalement,
on obtient :
Conclusion :
Deuxième cas : (ab’ – ba’) = 0 et [(ac’ – ca’) différente de 0 ou (cb’ – bc’) différente de 0]
Dans ce cas on obtient un des systèmes suivants :
avec les quantités (ac’ – ca’) et (cb’ – bc’) différentes de 0
avec les quantités (cb’ – bc’) différente de
0 et (ac’ – ca’) nulle
avec les quantités (ac’ – ca’) différente de
0 et
(cb’ – bc’)
nulle
Le premier système n’admet aucune solution
(x ; y) avec x et y nombres réels
car une quantité
nulle (premier membre) ne peut être
simultanément égale à une autre quantité
non nulle :
ac’ – ca’ ou cb’ – bc’
Le second
système n’admet aucune solution (x ; y) avec
x et y nombres réels
car sa seconde
équation est impossible [une quantité nulle (0 . x) ne peut être
simultanément égale à (cb’ – bc’)
différente de 0].
Le troisième
système n’admet aucune solution (x ; y) avec
x et y nombres réels
car sa première équation est impossible [une
quantité nulle (0 . y) ne peut être
simultanément égale à (ac’ – ca’)
différente de 0].
Par ailleurs, (ab’ – ba’) = 0 est logiquement équivalente à :
Conclusion :
Troisième cas : (ab’ – ba’) non nulle
On peut alors diviser
les deux membres de chacune des équations
(3) et (4) par
la quantité
non
nulle (ab’ – ba’) ;
on obtient ainsi :
Conclusion :
Si (ab’ – ba’) est différente de 0, alors le système donné admet une seule solution (x ; y) :
Conclusion
générale
Soit à résoudre
le système :
avec a, a’, b, b’, nombres réels non nuls
quelconques ; c et c’ nombres réels
quelconques
La quantité
(ab’ – ba’) est nommé déterminant du
système ou encore déterminant de Cramer.
On pose D = ab’ – ba’.
Si D est nul alors le système admet
une infinité de solutions ou
est impossible.
Si D est différent de 0 alors le
système admet une seule solution.
Méthode rapide pour calculer les solutions du système, si elles existent, c'est-à-dire si :
D = ab’ – ba’ est non nulle
On reprend le système :
Calcul du déterminant de Cramer, D
Définition préalable
m, n, p et q étant quatre nombres réels quelconques, chacune des quantités :
sont appelées déterminants.
Elles se calculent comme suit :
1-
On effectue d'abord les produits en croix, c’est-à-dire :
m.q d’abord et n.p ensuite.
2-
On soustrait le second produit (n.p) du premier (m.q) ; on obtient ainsi :
On écrit :
Retour à notre cas
Pour notre système ci-dessus, le déterminant de Cramer, D, est donc la quantité supposée non nulle :
Calcul de x et de y
On reprend le déterminant D précédent :
Calcul de x
On remplace les coefficients a et a’ de x respectivement par c et c’ ; on obtient un nouveau déterminant :
On obtient :
Calcul de y
On remplace les coefficients b et b’ de y respectivement par c et c’ ; on obtient un nouveau déterminant :
On obtient :
Identités remarquables - équations - systèmes d'équations - Huitième partie
Exemples :
Soit à résoudre :
Solution
On a :
a = +2 ; b = +3 ; c =
+1 ; a’ = +1 ; b’ = – 4 ; c’ = +3
On calcule d’abord le déterminant D de ce
système.
D
= ab’ – ba’ = (2).( – 4) – (+3).(+1) = (– 8)
– (+3) = –
11, différent de 0.
Donc le système admet une seule solution
(x ; y) telle que :
Soit à résoudre le système :
Solution
On a :
a = +2 ; b = +3 ; c =
+4 ; a’ = +1 ; b’ = –4 ; c’ = +1
On calcule d’abord le déterminant D de ce
système.
D
= ab’ – ba’ = (+2).( – 4) – (+3).(+1) = (–
8) – (+3) =
– 11, différent de 0.
Donc le système admet une seule solution (x ; y) telle que :
Soit à résoudre le système :
Solution
On a :
a = +5 ; b = –3 ; c =
+1 ; a’ = +10 ; b’ = –6 ; c’ = +5
On calcule d’abord le déterminant D de ce
système.
D
= ab’ – ba’ = (+5).( – 6) – (–3).(+10) = (–
30) – (– 30) =
– 30 + 30
= 0.
Donc on a un des deux cas suivants :
- le système admet une infinité de solution
- le système est impossible
On doit calculer les deux quantités : (ac’ –
ca’) et (cb’ – bc’)
On a :
ac’ – ca’
= (+5)(+5) – (+1)(+10) = +25 – (+10) = +15
différent de
0.
[D = 0 et (ac’ – ca’) différent de 0] ; alors le système est impossible.
Soit à résoudre le système :
Solution
On a :
a = +1 ; b = +7 ; c = +3 ; a’ = – 3 ; b’ = –21 ; c’ = – 9
Trouvons quelques unes de ces solutions.
Fixons x ; prenons par exemple x = + 4.
La première équation donne :
Fixons y ; prenons par exemple y = + 1.
La seconde équation donne :
Nous remarquons que (– 4 ; + 1) est
également une solution de la première
équation.
Donc (– 4 ;
+ 1)
est une seconde
solution du système donné.
Résoudre le système :
Solution
a = +2 , b = +3 , c = 0 , a’ = +1 , b’ = –2
, c’ = +1
D = ab’ – ba’ = (+2)( –2) – (+3)(+1) = (–4) – (+3) = –7 différent de 0.
Donc le système admet une seule solution (x ; y) telle que :
Résoudre le système :
Solution
a = +2 , b = –1 , c = 0 , a’ = +4 , b’ = –2
, c’ = +1
D = ab’ – ba’ = (+2)( –2) – (–1)(+4) = (–4) – (–4) = – 4 + 4 = 0.
Par ailleurs, on a :
ac’ – ca’ = (+2)(+1) – (0)(+4) = +2 – 0 = +2 différent de 0.
Donc le système donné n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y sont des nombres réels.
Résoudre
Solution
Donc le système admet une seule solution.
On a :
4-4-3 Systèmes particuliers se ramenant à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues, du premier degré par rapport à ces inconnues
Système de la forme :
Solution
xy = b implique 2xy = 2b
x + y = a implique (x + y)2 = a2 ou x2 + 2xy + y2 = a2
En remplaçant dans cette dernière égalité
2xy par 2b, on obtient :
x2 + 2b + y2 = a2
ou x2 + y2 = a2
– 2b
Premier cas : (a2 – 2b) largement positive
On obtient donc le système :
En soustrayant membre
à membre, on obtient :
x2 + y2 – 2xy = a2
– 2b – 2b ou (x – y)2 = a2
– 4b
Si (a2
– 4b) est largement positive,
alors on peut écrire :
En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.
Si (a2 – 4b) est strictement négative, alors le système n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.
Deuxième cas :
(a2 –
2b) strictement négatif
x2 + y2
étant une quantité positive
ne peut être égale à
(a2 – 2b) négative.
Le système
n’admet aucune solution (x ; y) telle que x
et y nombres réels.
Exemples
Résoudre
Solution
On calcule d’abord (a2 – 2b) :
Le système
n’admet aucune
solution (x ; y) telle que x et y nombres
réels.
Résoudre
Solution
On calcule d’abord (a2 – 2b) :
a2 – 2b = (4)2 – 2(3) = 16 – 6 = 10 > 0
x + y = 4 implique (x + y)2 = 16
ou x2 + 2xy + y2 = 16
En remplaçant dans cette dernière égalité
2xy par 2.(3) = 6, on obtient :
x2 + 6 + y2 = 16 ou x2
+ y2 = 16 – 6 = 10
On obtient donc le système :
En soustrayant membre à membre, on obtient :
x2 + y2 – 2xy = 10 – 6
= 4 ou (x – y)2 = 4
> 0
On obtient ainsi :
Ainsi, le système donné est logiquement équivalent à l’ensemble des deux systèmes suivants :
Le premier système, par addition membre à membre, donne :
2x = 6 ou x = 3
En remplaçant x par 3 dans une de ses
équations on trouve y = 1.
Le système
donné admet donc comme première solution,
(3 ; 1).
Le deuxième système, par addition membre à membre, donne :
2x = 2 ou x = 1
En remplaçant x par 1 dans une de ses
équations on trouve y = 3.
Le système
donné admet donc comme deuxième solution
(1 ; 3).
Conclusion
L’ensemble des solutions du système donné
est :
{(3 ; 1) , (1 ; 3)}.
Remarque importante :
(3 ; 1) et (1 ; 3) sont deux couples différents, car, (a ; b) est égal à (b ; a) si seulement si a = b.
Résoudre
Solution
On calcule d’abord (a2 – 2b) :
En remplaçant dans cette dernière égalité
2xy par 2.(1) = 2, on obtient :
x2 + 2 + y2 = 3 ou x2
+ y2 = 3 – 2 = 1
On obtient donc le système :
En soustrayant membre
à membre, on obtient :
x2 + y2 – 2xy = 1 – 2
= –1 <
0
Or, x2 + y2 – 2xy = (x – y) 2 étant positive ne peut être égale à (–1), quantité négative.
Système de la forme :
Solution
xy = b implique 2xy = 2b
x – y = a implique (x – y)2 = a2 ou x2 – 2xy + y2 = a2
En remplaçant dans cette dernière
égalité 2xy par 2b, on obtient :
x2 – 2b + y2 = a2
ou x2 + y2 = a2
+ 2b
Premier cas : (a2 + 2b) largement positive
On obtient donc le système :
En additionnant
membre à membre, on obtient :
x2 + y2 + 2xy = a2
+ 2b + 2b ou (x + y)2 = a2
+ 4b
Si (a2
+ 4b) est largement positive,
alors on peut écrire :
Ainsi, le système donné est logiquement équivalent à l’ensemble des deux systèmes suivants :
En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.
Si (a2 + 4b) est strictement négative, alors le système n’admet aucune solution (x ; y) telle que x et y nombres réels.
Deuxième cas :(a2 + 2b) strictement négative
x2 + y2
étant une quantité positive ne peut être
égale à (a2 + 2b) négative.
Le système
n’admet aucune
solution (x ; y) telle que x et y
nombres réels.
Système de la forme :
Solution
Notons d’abord les deux conditions que doivent remplir les inconnues situées aux dénominateurs, dans la première équation : il faut que x et y soient différentes de 0.
Remplaçons dans cette dernière égalité xy par son égale b; on obtient :
Ainsi, le système donné est logiquement
équivalent au système :
Ce système a été résolu dans la huitième partie de ce chapitre.
Exemple
Résoudre :
Solution
D'abord, notons que x et y figurant aux dénominateurs de la première équation doivent être strictement positives.
Remplaçons dans cette dernière égalité xy par son égale 6; on obtient :
Ainsi, le système donné est logiquement
équivalent au système :
Ce système a été traité dans la huitième partie de ce chapitre.
Système de la forme :
Solution
Le raisonnement est identique à celui suivi précédemment.
Système de la forme :
Solution
Le système est équivalent aux deux systèmes suivants :
Le premier, par addition membre à membre, donne :
Le
second, par
addition membre à membre, donne :
Premier cas : l’une au moins des deux quantités (a2 + 2b) et (a2 – 2b) est strictement négative.
Deuxième cas : les deux quantités (a2 + 2b) et (a2 – 2b) sont largement positives.
Alors le système est logiquement équivalent à l’ensemble des systèmes suivants :
En résolvant ces systèmes, on obtient finalement les solutions du système donné.
Exemples
Résoudre le système :
Solution
a2 = 13
et b = 6
On calcule d’abord (a2 + 2b)
et (a2 – 2b) :
a2
+ 2b = 13 +
(2).(6) = 13 + 12 = 25
> 0
a2 –
2b = 13 –
(2).(6) = 13 – 12 = 1
> 0
Donc, le système est logiquement
équivalent à l’ensemble des systèmes :
Le premier donne :
Le deuxième donne :
Le troisième donne :
Le quatrième donne :
L’ensemble
des solutions du système donné est :
{(3 , 2) ; (2 , 3) ; (–2 , –3) ; (–3
, –2)}
Résoudre le système :
Solution
a2 = 13
et b = 12
On calcule d’abord (a2 + 2b)
et (a2 – 2b) :
a2
+ 2b = 13 +
(2).(12) = 13 + 24 = 37
> 0
a2 –
2b = 13 –
(2).(12) = 13 – 24 = –11
< 0 ;
donc le système
n’admet aucune
solution telle que (x ; y) avec x et y
nombres réels.
Système de la forme :
Solution
On reconnaît ici la forme a2
– b2 dans la première
équation.
Ainsi, x2 – y2 = a2
est
logiquement équivalente à
(x + y)(x –
y) = a2.
Dans cette dernière égalité, remplaçons
(x + y) par son égale b ; on obtient :
b(x – y) = a2
Puisque b est différent de 0, on peut en déduire que :
Le système donné est donc logiquement équivalent à :
En remplaçant,
dans une des équations du système, x par
sa valeur trouvée, on calcule y :
Exemple
Résoudre :
Solution
On reconnaît ici
la forme a2 – b2
dans la première équation.
Ainsi, x2 – y2 = 8
est
logiquement équivalente à
(x + y)(x –
y) = 8.
Dans cette dernière égalité, remplaçons
(x + y) par son égale 4 ; on obtient :
4(x – y) = 8 ou x – y = 2
Le système donné est donc logiquement
équivalent à :
En additionnant
membre à membre, on obtient :
2x = 6 ou
x = 3
En remplaçant dans
une des équations du système x par sa
valeur trouvée, on calcule y :
x + y = 4 ou
y
= 4 – x = 4 – 3
= 1
Système de la forme :
avec a, b, m, n,
(am + bn), nombres réels différents de 0
Solution
Les propriétés des proportions permettent d'écrire :
Ainsi, on a :
Exemple
Résoudre le système
Solution
Les propriétés des proportions permettent d'écrire :
Ainsi, on a :
Système de la forme :
avec m, n,
(an + bm), nombres réels différents de 0
Solution
m étant différent de 0, on peut diviser les deux membres de la première équation par m ; on obtient :
En remplaçant dans la seconde équation x
par son égale ainsi calculée, on obtient une
équation en y :
En remplaçant y par sa valeur trouvée
dans une des équations du système, on
calcule x :
m étant différent de 0, on peut simplifier par m; on obtient :
Exemple
Résoudre le système :
Solution
En remplaçant dans la seconde équation x
par son égale ainsi calculée,
on obtient :
En remplaçant, dans une quelconque des équations du système, y par son égale ainsi trouvée, on calcule x :