GESTION DE
MATHS FLASH
TS
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Première partie
Nombres
complexes et transformations ponctuelles
1-
Transformations ponctuelles
Généralités
Soit dans un plan (P) deus ensembles E et F de points.
Soit T une relation de E vers F.
T est appelée
transformation ponctuelle si et
seulement si elle est une
application de E dans F.
Ainsi, tout point M de E a
une image et une seule,
M’, dans F.
M’ sera appelé
antécédent de
M par la transformation ponctuelle T.
On écrit T(M)
= M’.
M et M’ sont dits
homologues
dans la transformation ponctuelle T.
Exemples :
La symétrie
centrale de centre O est une
transformation ponctuelle.
La symétrie
axiale d’axe D est une transformation
ponctuelle.
La rotation de
centre O et d’angle de mesure a est une
transformation ponctuelle.
L’homothétie
de centre O et de rapport k (k réel différent de 0)
est une transformation ponctuelle.
Si E = F, alors on dira que
T est une transformation ponctuelle dans E.
Si de plus, tout point appartenant à F est
antécédent d’un et d’un seul point de E par T,
alors on dit que T
est une transformation ponctuelle
bijective de E sur F.
Soit T une transformation ponctuelle dans E.
Un point de E est dit
point invariant
ou point double
pour T si et seulement s’il est
confondu avec son image.
E est dit
invariant point par point par T si
seulement si tout
point M appartenant à E est
invariant par T.
Exemple :
Dans la symétrie axiale d’axe D, D est invariant point par point.
E est dit
globalement invariant par T si
seulement si :
Exemple
:
Soit une symétrie axiale d’axe D et soit une droite (d)
perpendiculaire à D rencontrant cette dernière au point O.
Le seul point double de (d) par cette symétrie est le point
O.
Tout autre point M de (d) différent de O a son image M’ par cette
symétrie telle que M’ est différent de M.
Or, l’image de
(d) par cette symétrie est (d).
Donc (d) est
globalement invariante par cette symétrie.
Soit dans un plan une transformation ponctuelle dans E.
T est dite
transformation identique ou
identité si
et seulement si tout point de E
est confondu avec son image.
Généralement, on la note :
IdE
ou, s’il n’y a aucune confusion, elle peut se
noter : Id.
Soient deux transformations ponctuelles T et T’ définies par :
T(E) = F et T’(F) = (F’)
L’application de E dans F’ définie comme suit :
est appelée application composée de E dans F’.
On la note T’
o
T qui se lit indifféremment «
T’ rond T » ou
« T suivie de
T’ ».
Ainsi, T’
o
T (M) = T’[T(M)] = T’(M’) = M’’.
Propriétés de la composition des transformations ponctuelles
De plus, T’
est bijective.
Les transformations ponctuelles remarquables
Symétrie
centrale
On appelle
symétrie centrale de centre O la
transformation ponctuelle notée SO
qui transforme tout point
M de l’espace ou du plan en un point M’ de ce même espace ou plan
tel que :
Par conséquent,
O, M et M’ sont alignés
et OM = OM’.
Le seul point double de SO est O.
Soit (d) une droite
passant par O.
Tout point de
(d) a son image par cette symétrie
appartenant à (d) ; donc
(d) est globalement invariante par SO.
La symétrie centrale
conserve les longueurs de segments,
donc les distances, les mesures d’angle, les mesures
de surface ou de volume ainsi que le parallélisme des droites.
Symétrie axiale
On appelle
symétrie axiale d’axe D la
transformation ponctuelle notée SD
qui transforme tout point M du plan
en un point M’ de ce même plan tel que l’intersection de (MM’) et de
D étant H :
Souvent la symétrie axiale est
appelée également réflexion.
Tout point de D est invariant par SD
.
Dans cette symétrie,
D est invariante point par point.
Soit (d) une droite
perpendiculaire
à D.
Soit O l’intersection de (d) avec D.
Le seul point de (d) invariant par SD
est O.
Tout point de
(d) différent de O
a son image par cette symétrie
appartenant à (d) ; donc
(d) est globalement
invariante par SD.
La symétrie axiale
conserve les longueurs de segments, donc
les distances, les mesures absolues d’angle
(on dit aussi les angles géométriques), les mesures
de surface ainsi que le parallélisme des droites.
Cependant,
elle ne conserve pas les mesures d'angles
orientés.
Translation
Toute
translation de vecteur différent du vecteur nul n’admet aucun point invariant.
La translation
conserve les longueurs de segments,
donc les distances, les mesures d’angle, les mesures de
surface ou de volume ainsi que le parallélisme des droites.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Deuxième partie
Rotation dans un plan
On
appelle rotation dans un plan ou rotation plane,
de centre O et de mesure d’angle, en radian, égale à a,
a différent de zéro, la transformation ponctuelle
notée R(O , a) qui
transforme tout point M du plan en un
point M’ de ce même plan tel que :
Tout point du plan différent de O n’est pas invariant par R(O , a).
Soit un
cercle de centre O et de rayon quelconque r.
Tout point de (O , r) a
son image par R(O , a) appartenant à (O , r);
donc le cercle (O , r) est globalement
invariant par cette rotation.
La
rotation plane conserve les longueurs de
segments, donc les distances, les mesures d’angle, les mesures de
surface ainsi que le parallélisme des droites.
Isométrie et déplacement
Toute transformation
ponctuelle du plan qui conserve les distances est
appelée isométrie.
Deux figures homologues
dans une isométrie sont dites figures isométriques.
Ainsi, les deux
symétries centrale et axiale, la rotation et la translation sont toutes des
isométries.
L'isométrie conserve les mesures absolues
d’angle, les mesures de surface ainsi que le parallélisme des droites.
Toute transformation
ponctuelle du plan qui conserve l'orientation des angles
est appelée déplacement.
Dans un plan, les rotations
et les translations
sont des déplacements, alors que
la symétrie axiale ne l'est
pas car elle ne conserve pas l'orientation des angles; elle sera dite
antidéplacement.
L’ensemble des rotations et des translations est dit
ensemble des déplacements.
Généralement, on note D
un déplacement.
Homothétie
On
appelle homothétie
dans l’espace ou dans le plan, de centre O et de
rapport k (k réel différent de 0),
la transformation ponctuelle notée H(O , k)
qui transforme tout point M de l’espace ou du plan en un
point M’ de ce même espace ou plan tel que :
Par conséquent, O, M et M’ sont alignés et OM’ =
|
k |
. OM.
k
est aussi appelé rapport d’homothétie.
Si k > 0
alors M et son image M’ sont du même côté par rapport à O.
H(O , k) est dite homothétie positive.
Si k < 0
alors M et son image M’ sont de part et d’autre de O.
H(O , k) est dite homothétie négative.
Si
k = 1, l’homothétie
se réduit à l’identité
et tout point est invariant par cette homothétie.
Si
k est différent de 1,
le seul point invariant par H(O , k) est le
centre O ; en effet, on a :
Comme k
est différent de 1, (1 – k) est différent de 0 ; donc :
Soit (d) une droite passant par O.
Tout point de (d) a son
image par l’homothétie H(O , k) appartenant à
(d) ; donc (d) est
globalement
invariante par H(O , k).
L’homothétie conserve les mesures d’angle ainsi
que le parallélisme des droites.
Elle ne
conserve pas les longueurs, les distances ainsi que les mesures de surface ou de
volume.
Similitude plane
Soient
dans un plan, une isométrie I et une homothétie H(O , k).
Les transformations composées
I
o
H(O , k) et H(O ,
k)
o
I
sont appelées similitudes planes.
Si I est un
déplacement, alors la similitude est dite
directe. Si I est un
antidéplacement, alors la
similitude est dite indirecte.
Ainsi, si I est une rotation ou une translation, alors la similitude
I
o
H(O , k) ou H(O , k)
o
I
est directe.
Si I est une
réflexion, alors la similitude
I
o H(O ,
k) ou H(O , k)
o
I est indirecte.
Une
similitude plane directe est donc généralement :
- soit
une homothétie suivie d’une rotation ou une rotation suivie d’une homothétie
-
soit une homothétie suivie d’une translation ou une translation suivie d’une
homothétie
Si
k = 1, alors la
similitude plane se réduit à un déplacement ou à un antidéplacement.
Dans le cas d'un déplacement, elle n’admettra qu’un
seul point double que si ce déplacement est
une rotation ; ce point double n’est autre que
le centre de cette rotation.
Si
k est différent de 1 et I est une rotation de
mesure d’angle a (a donnée en radians) et dont le
centre O est
le même que celui de l'homothétie, alors la similitude plane possède
un seul point invariant ou double : O
appelé centre ou
pôle de similitude ;
k sera nommé
rapport de similitude.
Deux objets homologues
dans cette similitude sont dits semblables.
Si
k est différent de 1 et de -1 et I est une
translation alors la similitude plane se réduit à
une homothétie
de rapport k. Il
reste à préciser son centre qui est l'unique point invariant ou double.
La
similitude plane conserve les mesures absolues
d’angle.
La
similitude plane et directe conserve les
mesures d’angle
orienté.
La
similitude plane, de rapport k différent de 1et
de -1,
ne conserve pas les distances ainsi que les mesures
de surface.
La
similitude plane et directe, de rapport k
égal à 1,
conserve les mesures d’angle,
les distances ainsi que
les mesures de surface.
Inversion
On
appelle inversion
dans le plan (P), de pôle O et de puissance k,
(k réel différent de 0), la transformation
ponctuelle notée Inv(O , k)
qui transforme tout point M du plan (P) – {O}
en un point M’ de ce même
plan tel que :
Remarque importante : l’inversion de pôle O est une transformation ponctuelle
dans le plan privé de ce pôle.
Si
(F’) est l’image d’un objet (F) par une inversion, alors (F’) est dite
inverse de (F).
Si (F’) est l’inverse de (F), alors (F) est inverse de
(F’) ; on dit aussi que (F) et (F’) sont
inverses.
k étant
un réel différent de 0 peut être strictement positif ou strictement négatif.
Si
k est strictement négatif,
alors Inv(O , k) n’admet aucun
point double.
Soit (C) un cercle
du plan, tel que
O
n’appartient pas à (C).
Si
k est égal à
la puissance de O par rapport à (C),
alors (C) est globalement invariant par Inv(O ,
k).
On
rappelle que la puissance d’un point M par
rapport à un cercle (C) de centre O et de rayon r
est la
quantité réelle :
N
et P étant les intersections de toute
sécante à (C) passant par M ; d étant la distance de M au cercle,
c’est-à-dire d = MO.
Si M est
à l’extérieur de (C) et si MA est une tangente à (C) menée de M (A est donc le
point de tangence),
alors la puissance de M par rapport à (C) est égale à MA2 .
Dans ce
cas, (D) étant une droite sécante quelconque menée de M et rencontrant (C) aux
points N et P, on a :
Toute droite
passant par le pôle d’inversion
est globalement invariante.
Soit
dans un plan (P) une inversion Inv(O , k).
Soient deux points M et N distincts appartenant
à (P) – {O} et tels que M, N et O sont
non alignés.
Si M’ et
N’ sont respectivement les inverses de M et N par l’inversion
Inv(O
, k), alors M, N, M’, N’
sont cocycliques, c’est-à-dire ils appartiennent
à un même cercle.
L’inverse d’un cercle ne passant pas par le pôle
d’inversion est un
cercle.
L’inverse d’une droite qui ne passe pas par le
pôle d’inversion est
un cercle qui passe par ce pôle ;
réciproquement, l’inverse d’un cercle qui
passe par le pôle d’inversion est
une droite.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Troisième partie
2-
Interprétation géométrique d’un nombre complexe
Généralités
Un nombre complexe, noté
généralement z est un couple de réels (x , y).
On écrit : z = x + i y
Le point M d'abscisse x et d'ordonnée y est appelé
image de z.
z sera appelé
affixe de M.
Premières
conclusions :
A
tout point M (x , y) du plan complexe correspond un nombre complexe
et un seul z = x + iy, appelé
affixe
de M.
A
tout nombre complexe z = x + iy correspond un
point M et un seul, d’abscisse x et d’ordonnée
y, appelé
image de z.
Dorénavant, le
repère plan précité sera appelé plan complexe.
On peut facilement
établir les propriétés suivantes :
Propriétés des
points images de nombres complexes particuliers
Les images de deux
complexes opposés (a + bi) et (– a – bi) sont
symétriques dans la
symétrie centrale
de centre O, origine du
plan complexe.
Les images de deux
complexes conjugués (a + bi) et (a – bi) sont
symétriques dans la
symétrie axiale
d’axe,
l’axe des abscisses.
On peut facilement
démontrer les propriétés suivantes :
Images et
vecteurs images de la somme z = z1 + z2 et de la
différence z’ = z1 – z2
Affixe d’un
vecteur d’origine M et d’extrémité N
Soient les points
M et N d’affixes respectives zM et zN .
Produit d’un
vecteur par un nombre complexe
Propriétés
Rapport
complexe de deux vecteurs
On a :
Remarque1
Si A, B, C et D,
avec C différent de D, sont quatre points du plan complexe, alors :
Remarque2
3- Notations
trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe
Donc, z = x + i y.
On sait que x = r cos a
et y = r sin a, avec x2 + y2 =
r2 (cos2
a + sin2 a) = r2 .
Par conséquent,
z = (r cos a) + i
(r sin a) ou encore
z = r(cos a + i sin a).
C’est
la notation trigonométrique d’un nombre
complexe.
De plus, on a :
Par ailleurs, on a
également :
z =
r e a i
C’est
la notation exponentielle
d'un nombre complexe.
Cette notation rend très facile l'étude
des transformations ponctuelles ainsi que la recherche de formules
trigonométriques ou le calcul trigonométrique.
Elle un donc un outil indispensable à tout élève
de terminale scientifique ou technique.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Quatrième partie
4- Application à la Géométrie
Les symétries
Symétrie centrale SO
On a vu précédemment
que les points images de deux complexes
opposés
(a + bi) et (– a – bi)
sont
symétriques
dans la
symétrie centrale
de centre O,
origine
du plan complexe.
Soit M(z) un point quelconque du plan
complexe.
Donc
SO (z) =
– z.
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’ d’affixe
z’ = – z est la symétrie centrale de centre
O, origine du repère.
Symétrie centrale SW
Soit W un point quelconque du plan complexe,
différent de O, d’affixe zW .
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives zM et zM’
.
On sait que M et M’ sont symétriques par
rapport à la symétrie centrale de centre W,
notée SW , si et seulement si :
Donc
M et M’ sont
symétriques par rapport à la symétrie
centrale de centre W, notée SW ,
si et seulement si :
2 zW =
zM + zM’
ou SW
(zM) = zM’ = 2 zW
– zM
Symétrie axiale (ou réflexion) SOx
On a vu précédemment
que es images de deux complexes
conjugués
(a + bi) et (a – bi)
sont
symétriques
dans la
symétrie axiale
d’axe, l’axe des abscisses.
Soit M(z) un point quelconque du plan
complexe.
Symétrie axiale (ou réflexion) SOy
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives zM et zM’
.
On sait que M et M’ sont symétriques par
rapport à la symétrie axiale d’axe (y’Oy)
des ordonnées du repère, si et seulement
si :
Symétrie axiale (ou réflexion) d’axe parallèle à l’axe des
ordonnées
Soit D une droite parallèle à l’axe des
ordonnées ; son équation est donc :
x = k, avec k réel.
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives z et z’ .
M et M’ sont symétriques par rapport à D si
et seulement si :
x + x’ = 2k et y = y’
Or,
z’
= x’ + y’i = (2k – x)
+ yi = 2k – x + yi = 2k – (x – yi)
=
Symétrie axiale (ou réflexion) d’axe parallèle à l’axe des
abscisses
Soit D une droite parallèle à l’axe des
abscisses; son équation est donc :
y = k, avec k réel.
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives z et z’ .
M et M’ sont symétriques par rapport à D si
et seulement si :
y + y’ = 2k et x = x’
Or,
z’
= x’ + y’i = x + (2k –
y)i = x + 2ki – yi = (x – yi) + 2ki =
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Cinquième partie
Symétrie axiale (ou réflexion) Sd
d est une droite quelconque différente des
axes du repère et non parallèle à aucun de
ces axes.
Premier cas : la droite d passe par
l’origine O du repère
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, différents de O et
d’affixes respectives z et z’
.
M et M’ sont symétriques par rapport à d, on
dit aussi qu’ils sont symétriques dans la
symétrie axiale d’axe d,
si et seulement
si :
La condition nécessaire et suffisante
devient :
Soient les notations exponentielles de z et
z’ :
Avec la
condition ci-dessus, on a donc :
En simplifiant par z, puisque M est
différent de O :
Cas particulier de la symétrie axiale d’axe
la première bissectrice
On peut facilement retrouver les relations
liant les coordonnées de M et M’ ; en effet,
on a :
Deuxième cas : la droite d ne passe pas par
l’origine O du repère
La droite d ne passant pas par O, et n’étant
parallèle à aucun des axes du repère, soit A
son ordonnée à l’origine
d’affixe zA
.
La translation
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives z et z’.
La rotation
Soit une rotation quelconque de centre O, O
origine du repère, et de mesure d’angle, en
radian, égale à a.
On la note R(O , a).
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives z et z’.
Les notations exponentielles de z et z’
sont :
M’ est l’image de M dans cette rotation si et
seulement si :
Or, la relation de Chasles appliquée aux
angles orientés donne à 2π près :
Donc,
La condition nécessaire et suffisante se
traduit par :
Or, on a :
Finalement, on a :
La transformation ponctuelle transformant tout point M d’affixe z en un point M’
d’affixe e a iz est la rotation de centre
O, origine du repère et de mesure d’angle,
en radian, égale à a.
On écrit : R(O , a)
(z) = z’ =
e
a i z
Généralisation
On considère une rotation de centre W différent de O et d’affixe w ; la mesure
de l’angle de rotation, en radian, étant a.
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’ d’affixe
(z – w) e a i + w est la
rotation
de centre W d’affixe w et de mesure
d’angle, en radian, égale à a.
On
écrit : R(W , a) (z) = z’ = (z –
w) e a i + w
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Sixième partie
Rotation suivie d’une translation
Soit une rotation R( O , a) quelconque de
centre O, O origine du repère et de mesure
d’angle, en radian, égale à a.
Soit un point M(x , y) quelconque de ce
plan, d’affixe z .
La notation exponentielle de z est :
z =
ïzïe
arg (z) i
Le transformé de M(z), par la rotation, est
M’(z’) tel que z’ = z e
a i, et celui de M’(z’), par la
translation, est M’’(z’’) tel que z’’ = z’ +
v .
D’où le schéma :
z
®
z’ = z e a i
®
z’’ = z’ + v = z e a
i + v
Si le point W d’affixe w est un point double
de cette composition, alors :
w = w e a i
+ v ou w(1 – e a i)
= v
Deux cas se
présentent : a = 0 et a
¹
0
Or,
Or, on sait que
e
a i
= cos a
+ i sin a.
Donc,
ï
e a i
ï
= cos2 a + sin2 a = 1.
Par conséquent,
Ainsi, on peut écrire :
a = 0
Dans ce cas, la rotation se réduit à Id et
on obtient :
L’homothétie
Soit une homothétie quelconque de centre O,
O origine du repère, et de rapport k (k réel
différent de 0).
On la note Hom(O, k).
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’)
quelconques de ce plan, d’affixes
respectives z et z’.
Les notations exponentielles de z et z’
sont :
z =
ïzïe
arg (z) i et z’ =
ïz’ïe
arg (z’) i
M’ est l’mage de M dans cette homothétie si
et seulement si :
Cette condition nécessaire et suffisante
s’écrit également :
z’ = k
z ou Hom(O , k) (z) = z’ = k z
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’, d’affixe
k z, est l’homothétie de centre l’origine O
du repère et de rapport k (k réel non nul).
On
écrit : Hom(O , k) (z) = z’ = k z
Généralisation
Soit l’homothétie de centre W, d’affixe w,
différent de O ; le rapport d’homothétie est
k (k réel non nul).
Soit le repère orthonormal d’origine W, dont
les axes ont leurs directions respectivement parallèles
à ceux du
repère d’origine O et dont les vecteurs
unitaires sont les mêmes que ceux du repère
d'origine O.
Soient deux points M(x , y) et M’(x’ , y’),
homologues dans cette homothétie, dont les
coordonnées sont données dans le repère
d’origine O. Leurs affixes respectives dans
ce repère sont z et z’
.
Dans le repère d’origine W, on applique le
résultat obtenu précédemment, puisque
l’homothétie a pour centre cette origine :
Z’ = k Z (1)
Z et Z’ étant les affixes de M et M’ dans ce
repère
Or,
Ce qui donne :
Z = z – w et Z’ = z’– w
En remplaçant dans (1), Z et Z’ par leurs
égaux (z – w) et (z’– w), on obtient :
z’– w = k (z – w) ou z’ = k(z – w) + w =
k z + w (1 – k)
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’, d’affixe
k z + w (1 – k), est l’homothétie de centre
W dont l’affixe est w et dont le rapport est k (k
réel non nul).
On
écrit : Hom(W , k) (z) = z’ = k z + w (1 –
k)
Cas particulier où k = 1
Dans ce cas, la relation devient :
z’ = z
L’homothétie se réduit
à la transformation identique
Id.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Septième partie
La similitude
Au début de ce chapitre, on a donné une
définition purement géométrique de la
similitude.
Une similitude est
dite directe
lorsqu’elle est
la composition
d’une homothétie suivie d’un
déplacement
(rotation ou translation).
Le rapport de similitude n’est autre que
celui de l’homothétie qui contribue dans
cette composition.
Pour les cas de
similitudes composées d’homothéties
suivies de rotations, on n’abordera que
celles pour lesquelles l’homothétie et la
rotation ont
même centre.
Homothétie suivie d’une rotation
Premier cas : le centre est l’origine du
repère
Soit une homothétie et une rotation
quelconques de même centre O, O origine du
repère. Le rapport d’homothétie est k (k
réel différent de 0 et de 1).
On note Hom(O, k) cette homothétie.
On a écarté k = 1 qui correspond à une
homothétie réduite à l’identité Id.
La rotation a la mesure de son angle, en
radian, égale à a, a différente de 0. On
note R(O , a) cette rotation.
Soit la
transformation composée : R(O , a)
o
H(O , k) qui se lit « H(O , k)
suivie de
R(O , a) ».
Soit un point M(x , y) quelconque de ce
plan, d’affixe z .
La notation exponentielle de z est :
Si M’ est l’image de M par l’homothétie et
si M’’est l’image de M’ par la rotation,
alors on peut écrire :
Le transformé de M(z), par l’homothétie, est
M’(z’) tel que z’ = k z, et celui de M’(z’),
par la rotation, est M’’(z’’)
tel que z’’ =
z’ e a i .
D’où le schéma :
Ainsi, on peut écrire :
R(O , a)
o
H(O , k) (z) = k z e a i
Si W d’affixe w est un point double, alors :
Or, (1 – k e a i ) est différente
de 0.
En effet,
Ainsi, (1 – k e a i ) étant
différente de 0, le produit
w(1 – k e a i ) est nul pour
w = 0.
Donc,
W = O.
La
transformation composée admet un point
double qui est l’origine O.
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’, d’affixe
k z e a i, est la similitude
directe de centre O, origine du repère, de
mesure d’angle, en radian, égale à a et de
rapport k (k
réel quelconque différent de 0).
On
écrit : S(O , a , k) (z) = z’ =
ke a
i
z
Remarque :
L'écriture
"S(O , a , k)"
est identique à
"S(O , k , a)";
l'essentiel est que la nature de chaque objet soit la même dans les deux.
En utilisant la notation exponentielle de z,
on obtient:
Application
On
donne dans un plan complexe une
transformation ponctuelle T qui transforme
un point M d’affixe z en un point M’
d’affixe z0 z, z0
étant un complexe différent de 0 et de 1,
donné.
Quelle
est la nature de T ?
Solution
On a :
On pose z0 = r0 e
a i .
On écrit :
La
transformation ponctuelle T transformant tout
point M d’affixe z en un point M’, d’affixe
z0z, est la similitude
directe de centre O, origine du repère, de
mesure d’angle, en radian, égale à a et de
rapport k égal au module
r0
de
z0.
On écrit :
z0 = r0
e a i étant donné, la
transformation ponctuelle T telle que T(z) =
z0 z est la similitude directe
S(O , r0 , a).
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Huitième partie
Deuxième cas : le centre est différent de
l’origine du repère
Soit une homothétie et une rotation
quelconques de même centre W d’affixe w,
différent de O, O origine du repère.
Le rapport d’homothétie est k (k réel
différent de 0 et de 1).
On note Hom(W, k) cette homothétie.
On a écarté k = 1 qui correspond à une
homothétie réduite à l’identité Id.
La rotation a la mesure de son angle, en
radian, égale à a, avec a réelle différente
de 0. On note R(W , a) cette rotation.
Soit la
transformation composée : R(W , a)
o
H(W , k) qui se lit « H(W , k)
suivie de
R(W , a) ».
Soit un point M(x , y) quelconque de ce
plan, d’affixe z .
La notation exponentielle de z est :
Soit le repère orthonormal d’origine W, dont
les axes de même nom sont parallèles,
de même sens et ayant même vecteur unitaire.
Dans le repère d’origine W, on applique le
résultat obtenu précédemment, puisque la
similitude directe
S(W , a , k) = R(W
, a)
o
H(W , k) (z) a pour centre cette origine :
Z’ = k Z e a i
(1)
Z et Z’ étant les affixes des points
homologues M et M’ dans ce repère
Ce qui donne :
Z = z – w et Z’ = z’– w
En remplaçant dans (1), Z et Z’ par leurs
égaux (z – w) et (z’– w), on obtient :
z’– w = k (z – w)
e a i
ou z’ = k (z – w) e a i + w
Si U d’affixe u est un point double pour
cette composition, alors :
u = k (u – w) e a i + w ou u –
w – k (u – w) e a i = 0
ou
(u – w)(1 – k e a i ) = 0
Or, (1 – k e a i ) est différente
de 0.
En effet,
Ainsi, (1 – k e a i ) étant
différente de 0, le produit
(u – w)(1 – k e a i ) est nul
pour (u – w) nulle ou
u = w.
Donc,
U = W.
La
transformation composée admet un point
double qui est W.
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z en un point M’, d’affixe
k (z –
w) e a i + w, est la similitude
directe de centre W d’affixe w, de mesure
d’angle,
en radian, égale à a et de rapport
k
(k réel quelconque différent de 0).
On
écrit :
S(W , a , k) (z) = z’ = k (z –
w) e a i + w
Homothétie suivie d’une translation
Soit une homothétie quelconque de centre O,
O origine du repère.
Le rapport d’homothétie est k (k réel
différent de 0).
On la note Hom(O, k).
Soit un point M(x , y) quelconque de ce
plan, d’affixe z .
La notation exponentielle de z est :
Le transformé de M(z), par l’homothétie, est
M’(z’) tel que z’ = k z, et celui de M’(z’),
par la translation, est
M’’(z’’) tel que z’’
= z’ + v .
D’où le schéma :
Si le point W d’affixe w est un point double
de cette composition, alors :
w = k w + v ou w(1 – k) = v
Or,
On obtient ainsi :
Par ailleurs, on a :
Ainsi, on peut écrire :
Le
cas particulier
k =
–1
réduit l’homothétie à la symétrie centrale SO
et on peut écrire :
k = 1
Dans ce cas, la relation devient :
z’’ = z + v.
On
devait s’y attendre, puisque pour k = 1,
l’homothétie se réduit à la transformation
identique Id.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Neuvième partie
Compositions remarquables
Produit de deux symétries centrales de
centres différents
Dans un plan complexe, on donne S et S’ deux
symétries centrales quelconques de centres
respectifs O et O’.
M étant un point quelconque du plan, on a :
Démonstration par les nombres complexes
Soit M un point quelconque, d’affixe z, du
plan complexe.
Soit W un point quelconque du plan complexe,
différent de O, d’affixe w.
On considère la symétrie centrale S de
centre W.
On a donc S(z) = 2w – z.
Soit un second point W’ quelconque du plan
complexe, différent de O et de W, d’affixe
w’.
On considère la symétrie centrale S’ de
centre W’.
On a donc S’(z) = 2w’ – z.
On écrit :
S’
o
S (z) = S’[S(z)] = S’[2w – z] = 2w’ – (2w –
z) =
2w’ – 2w + z
ou
S’
o
S (z) = z + 2(w’ – w)
Produit de deux symétries axiales d’axes
différents
Dans un plan complexe, on donne (SA) et
(SA)’ deux symétries axiales quelconques,
d’axes respectifs
d et d’.
d et d’étant deux droites quelconques, soit
W leur intersection.
Soit M est un point quelconque du plan.
Si H est le pied de la perpendiculaire à d
menée de M, alors :
Si H’ est le pied de la perpendiculaire à d’
menée de M’, alors :
Ces symétries permettent d’écrire :
WM
= WM’ = WM’’
On peut écrire :
(SA)’
o
(SA) est la rotation d’angle dont la mesure
est égale à 2a, a étant la mesure, en
radian, de l’angle orienté
des deux
axes.
Démonstration par les nombres complexes
On établira la démonstration pour le cas où
les deux axes d et d’ se coupent en O,
origine du repère, sachant qu’après on
pourra généraliser, par translation du
repère, pour le cas où d et d’ ont leur
intersection différente de O.
Soit M un point quelconque, d’affixe z, du
plan complexe.
On a :
Or, on sait que, pour tous complexes
a et b,
Donc,
(SA)’
o
(SA) est la rotation d’angle dont la mesure
est égale à 2a, a étant la mesure, en
radian, de l’angle orienté des deux axes.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Dixième partie
Généralisation
On donne dans un plan complexe la
transformation ponctuelle f définie par :
z
®
az + b, avec
a complexe non nul
et b
complexe quelconque
f est la composition : S suivie de T, avec
S(z) = az et
T(z) = z + b
En effet :
f(z) = T
o
S (z) = T[S(z)] = T[az] = az + b
Ainsi, pour déterminer la nature de f, il
suffit de déterminer celles de T et de S.
1er cas : (b
= 0
et
a
n’appartient pas à R)
Alors T se
réduit à l’identité Id et T
o
S = Id
o
S = S ; de plus,
f sera la
similitude S[O ,
|
a
|
, arg(a)].
2ème cas :
(b = 0
et
a appartient
à R* - {1})
Alors T se
réduit à l’identité Id et T
o
S = Id
o
S = S ; de plus, arg(a) = 0 et
f sera l’homothétie
Hom(O , a).
3ème cas :
(b = 0
et
a = 1)
Alors T se
réduit à l’identité Id et T
o
S = Id
o
S = S ; de plus, arg(a) = 0 et
f sera l’identité
Id.
4ème cas :
(b
n’appartient pas à R
et
a
n’appartient pas à R)
Or, on sait que
S[O ,
|
a
|
, arg(a)] est l’homothétie Hom(O ,
|
a
|)
suivie de la rotation R[O , arg(a)].
Dans le cas
particulier où
|
a
|
= 1, l’homothétie
Hom(O , 1) se réduit à Id et f se réduit à :
5ème cas :
(b
n’appartient pas à R et
a appartient
à R* - {1})
f sera l’homothétie
Hom(W , a), avec W le point double qu’admet
f.
6ème cas :
(b
n’appartient pas à R et
a = 1)
7ème cas :
(b
n’appartient pas à R et
a = –1)
Alors la relation s’écrit :
z’ = –z + b ou z + z’ = b
8ème cas :
(b
appartient à R*
et
a
n’appartient pas à R)
Or, on sait que
S[O ,
|
a
|
, arg(a)] est l’homothétie Hom(O ,
|
a
|)
suivie de la rotation R[O , arg(a)] .
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Onzième partie
9ème cas :
(b
appartient à R* et
a appartient
à R*
- {1})
f sera l’homothétie
Hom(W , a), avec W le point double qu’admet
f.
10ème cas :
(b
appartient à R* et
a = 1)
L’inversion
Soit l’inversion de pôle O, origine du
repère, et de puissance k, k étant un réel
différent de 0.
Elle est notée Inv(O , k).
Elle transforme tout
point M du plan
(P) – {O}
en un point M’ de ce même plan tel que :
Soit M un point quelconque, d’affixe z, du
plan complexe.
Si M’ d’affixe z’ est l’image de M par cette
inversion, alors O, M et M’ sont alignés et
on devra avoir :
Deux cas se présentent : k > 0 et k < 0
Conclusion :
La
transformation ponctuelle transformant tout
point M d’affixe z, appartenant à P – {O},
en un point M’, d’affixe z’ tel que :
est
l’inversion de pôle O et de puissance k.
Application
Soit T une transformation définie par :
Si W d’affixe w est un point double de T,
alors, on devra avoir :
T admet donc deux points doubles, le point A
d’affixe 1 et le point A’ d’affixe –1.
A et
A’ appartiennent à l’axe des abscisses et
sont symétriques par rapport à l’origine O.
Soit (C) le cercle passant par M, A et A’.
(MO) rencontre (C) en un deuxième point N
tel que :
Soit M’(z’), l’image de N dans la symétrie
axiale SOy .
On a :
De plus, cette symétrie axiale donne :
T est ainsi
la composée de
l’inversion Inv (O , –1) suivie de la
symétrie axiale SOy
.
On écrit :
T = SOy
o
Inv (O , –1)
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Douzième partie
Exercices
1-
En
utilisant la notation exponentielle d'un
complexe, démontre la formule de Moivre :
(cos a + i sin a)n = cos(na) + i
sin (na), n étant un nombre entier relatif
quelconque
Pour le cas particulier n = 3, calcule
cos (3a) et sin (3a) en fonction de cos a et
sin a.
Solution
z = m + in étant un complexe quelconque, M(m
, n) est donc son image.
z s’écrit également :
En particulier, le point M (cosa , sina) est
l’image du nombre complexe :
z = 1.
e i a
En effet, on a :
Ainsi, pour n un nombre entier relatif
strictement positif quelconque,
on peut écrire :
Pour n entier relatif strictement
négatif quelconque, on a, en posant
p = – n > 0 et en appliquant le résultat
précédent :
En
multipliant les numérateur et dénominateur
de la dernière expression par le conjugué de
cos (pa)
+ i sin (pa),
on obtient :
Or, cos (pa)
= cos (– pa)
et –
sin (pa)
=
sin (– pa) ;
donc :
zn =
(cosa
+ i sina)n
=
cos (– pa)
+
i sin (– pa)
ou zn
= cos (na)
+
i sin (na)
Enfin pour n = 0,
(cosa
+ i sina)0
= 1 et
cos (0a) + i sin (0a) = cos 0 + i sin 0 = 1.
Donc,
(cosa
+ i sina)0
= cos (0a) + i sin (0a).
La formule est
également vérifiée pour
n = 0.
Conclusion :
Pour tout
n, nombre entier relatif, (cosa
+ i sina)n = cos (na) + i
sin (na).
C’est la
formule de Moivre.
Remarque :
Cette formule n'est plus valable
si n n'appartient pas à Z.
Pour n = 3, on obtient :
(cosa
+ i sina)3
=
cos (3a)
+ i sin
(3a)
Or, (cosa
+ i sina)3
= (cosa)3 + 3(cosa)2
(i sina) + 3(cosa) (i sina)2
+ (i sina)3 =
cos3a + 3i cos2a
sina + 3i2 sin2a
cosa + i3 sin3a
=
cos3a + 3icos2a
sina + (–3)sin2a
cosa + (–1) i sin3a =
(cos3a
– 3sin2a cosa)
+ i (3cos2a
sina – sin3a)
Deux nombres complexes sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles et
imaginaires sont respectivement égales ;
donc :
cos (3a) =
cos3a – 3sin2a cosa
et
sin
(3a) = 3cos2a sina –
sin3a
2-
Donne la nature de la transformation T
définie comme suit :
T (M)
= M' tel que si z' est l'affixe de M', alors
z' = 2
i z
Solution
Posons z = r . e a i , avec r son
module et a son argument.
Nature de T
Si T admet un point invariant (ou double) W
d’affixe w, alors :
w = 2wi ou w – 2wi = 0 ou w(1 – 2i) = 0
Comme 1 – 2i est différent de 0, le produit
est nul pour w = 0.
Le seul point double de T est donc l’origine
O du repère orthonormal dont est muni le
plan complexe.
Posons z0 = 2i.
On peut donc écrire :
Posons z’ = r’ . e a’ i , avec r’
son module et a’ son argument.
On a :
Comme, à 2
p
près,
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Treizième partie
3-
Donne la nature de la transformation T
définie comme suit :
T (M)
= M' tel que si z' est l'affixe de M', alors
z' =
T(z) = – 3z + 2 + i
Solution
Si T admet un point double W d’affixe w,
alors :
Dans ce repère M et M’ ont respectivement
pour affixes Z et Z’.
On a :
Donc, z = w + Z et z’ = w + Z’
En remplaçant dans la relation définissant
T, z et z’ par leurs égaux (w + Z) et (w +
Z’), on obtient :
w + Z’ = – 3(w + Z) + 2 + i
Donc, w + Z’ = – 3(w + Z) + 4w ou
Z’ = – w – 3w – 3Z + 4w ou
Z’ = –
3Z
T est
donc l’homothétie de centre W et de rapport
– 3.
Méthode générale de détermination d’une
transformation ponctuelle T qui applique
au point M d’affixe z, le point M’ d’affixe
z’, du plan complexe, tel que :
T(z) = z’ = az +
m + n i,
avec a
complexe non nul et différent de 1,
quelconque
et
m, n réels
quelconques,
donnés.
a- On cherche
d’abord le point double W de T, en écrivant
que son affixe w doit vérifier la relation
définissant T :
w = aw + m + ni ou w – aw = m + ni ou
w(1 – a) = m + ni
a étant différent de 1, (1 – a) est
différent de 0 ; donc, en divisant les deux
membres de cette dernière égalité par (1 –
a), on obtient :
Ainsi,
T admet le seul
point double W d’affixe :
Soient Z et Z’ les affixes respectives de M
et M’ dans le repère R.
Ces égalités vectorielles se traduisent en
égalités complexes suivantes :
z = w + Z et z’ = w + Z’
Dans la relation donnée z’ = az + m + n i,
on remplace z’ et z par leurs égaux (w + Z)
et (w + Z’) ; on obtient :
w + Z’ = a(w + Z) + m + ni
ou
Z’ = a(w + Z) + m + ni – w
ou
Z’ = aw – w + aZ + m + ni
ou
Z’ = w(a – 1) + aZ + m + ni
ou
En simplifiant par (1 – a) différent de 0,
on obtient :
Cette dernière
relation implique que
T est une
similitude de centre, le point double W, de
rapport le module du complexe a et d’angle
l’argument de a.
On écrit :
T = S[W ,
|
a
|
, arg(a)]
Si a est réel,
alors arg(a) = 0 (modulo 2p)
et cette similitude se réduit à l’homothétie
Hom(W ,
|
a
|).
Si
|
a
|
= 1, alors cette similitude se réduit à la
rotation R[W , arg(a)]
4-
Dans
un plan complexe, on donne le point M
d'affixe z.
Donne la nature de la transformation T
définie comme suit :
T (M)
= M' tel que si z' est l'affixe de M', alors
:
Solution
La relation est de la forme az + m + ni,
avec :
On applique donc la méthode générale exposée
dans l’exercice 3.
On détermine, s’il existe, le point double W
d’affixe w de T, en écrivant que w doit
vérifier l’équation :
Donc, l’équation admet une seule racine w =
0.
T admet un seul point double, l’origine O du
repère orthonormal dont est muni le plan
complexe.
T est donc
la similitude
S[O , arg(a),
|
a
|].
On calcule donc
|
a
|
et arg(a).
On a :
On sait que a =
|
a
|
[cos arg(a) + i sin arg(a)] =
2 [cos arg(a) + i sin arg(a)].
On peut donc écrire :
Deux complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et imaginaires sont
égales ; donc :
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - Quatorzième partie
5-
Dans
un plan complexe, on donne le point M
d'affixe z.
Donne la nature de la transformation T
définie comme suit :
T (M)
= M' tel que si z' est l'affixe de M', alors
:
z' =
T(z) = i z + 1
Solution
La relation est de la forme az + m + ni,
avec a = i et m + ni = 1; donc m = 1
et n = 0, réels.
On applique donc la méthode générale exposée
dans l’exercice 3.
On doit trouver le résultat :
6-
Dans
un plan complexe, on donne le point M
d'affixe z.
Donne la nature de la transformation T
définie comme suit :
T (M)
= M' tel que si z' est l'affixe de M', alors
:
Solution
T est donc
la symétrie axiale
ou réflexion
d’axe la première bissectrice du repère dont
est muni le plan complexe.
Remarques
Tous les points de cette bissectrice sont
invariants ou points doubles pour T.
Donc,
la bissectrice est
invariante par T, point par point.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 15ème partie
7-
Mettre
sous formes trigonométrique et exponentielle
les complexes :
Solution
On pose z =
|
z
|
[cos arg(z) + i sin arg(z)] =
|
z
|
e Arg(z) i .
Deux complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et imaginaires sont
égales ; donc :
On
obtient :
On pose z’ =
|
z’
|
[cos arg(z’) + i sin arg(z’)] =
|
z’
|
e arg(z’) i .
Deux complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelle et imaginaire sont
égales ; donc :
On obtient finalement :
Ainsi, on a :
Deux complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et imaginaires sont
égales ; donc :
On obtient finalement :
8-
Détermine l’ensemble des points M (z) tels
que les images des complexes 1, z et z’ = 1
+ z2 soient alignées.
Solution
On pose z = x + iy.
Soient A et M’ les images respectives de 1
et z’.
A, M et M’ sont alignés si et seulement si :
Ce produit est nul si et seulement si :
y = 0
ou x2 + y2 – 2x = 0
L’ensemble des points M est donc la réunion de l’axe des abscisses et du
cercle d’équation
x2
+ y2 – 2x = (x – 1)2
+ y2 = 1, c’est-à-dire le
cercle de centre A et de rayon 1.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 16ème partie
9-
a-
Calcule les complexes :
b-
Calcule le reste de la division du polynôme
(cos t
+ x sin t)n par x2 +
1.
c-
Soit u
un complexe de module r, d’argument a.
Calcule en fonction de r et a l’expression :
d-
Détermine le module et l’argument du
complexe :
Calcule u = z32.
Solution
a-
On écrit d’abord les deux complexes u et v sous leurs formes
trigonométriques.
Ainsi, on obtient :
La formule de Moivre donne :
On obtient finalement :
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 17ème partie
(Suite de l'exercice 9)
b-
Le degré du diviseur par rapport à x étant
2, celui du reste est 1 ; donc le reste est
de la forme ax + b.
Si Q(x) est le quotient, alors on a :
(cos t + x sin t)n = (x2
+ 1) . Q(x) + ax + b
Dans cette égalité, on remplace x par i ; il
vient :
(cos t + i sin t)n
= (i2 + 1) . Q(i) +
ai + b
Or, on sait que i2 = – 1 ; donc i2
+ 1 = 0 et ainsi :
ai + b = (cos t + i sin t)n
Par application de la formule de Moivre, il
vient :
cos nt + i sin nt = ai + b
Deux complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelle et imaginaire sont
égales ; donc :
cos nt = b et sin nt = a
Le reste est
donc (x sin nt + cos nt).
c-
On pose u = r(cos a + i sin a).
L’application de la formule de Moivre donne,
pour n entier naturel quelconque :
un = rn (cos na + i
sin na)
et
Par addition membre à membre, on obtient :
On a donc :
Or, 1 + 2 + 3 + … + n est la somme des n
premiers termes d’une progression
arithmétique de premier terme 1 et de raison
1 ; on a donc :
On
obtient finalement :
d-
On détermine les notations exponentielles de
(1 + i) et de (1 – i).
Soient r et a les module et argument de (1 +
i). On a donc :
Soient r’ et a’ les module et argument de (1
– i). On a donc :
Ainsi, on obtient :
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 18ème partie
10-
On
donne la transformation ponctuelle T
transformant tout point M d’affixe z,
appartenant à
P –
{O}, en un point M’, d’affixe z’ tel que :
arg(z’) –
arg(z)
= 2p
1)
Quelle est la nature de T ?
2)
Soit (C) le cercle de diamètre [OA], avec A
le point d’affixe 2.
Quel
est l’ensemble des points M’ = T(M), sachant
que M parcourt (C) – {O} ?
Solution
1)
arg(z’) –
arg(z)
= 2p
Û
arg(z’) = arg(z) + 2p
Þ
M’, M et O, origine du repère orthonormal
dont est muni le plan complexe, sont
alignés ;
de plus M et M’ sont du même côté
par rapport à O.
Comme, O, M et M’ sont alignés et M, M’ sont
du même côté par rapport à O, alors :
2)
Il s’agit là de
trouver l’image de (C) – {O} par
T.
L’affixe de A étant un réel, A appartient à
l’axe des abscisses.
Comme O, M et M’ sont alignés et M, M’ sont
du même côté par rapport à O, alors :
Par ailleurs, on a :
Or, M appartenant au cercle de diamètre
[OA], (AM) est orthogonale à (OM) et ainsi :
On
obtient :
L’ensemble des points M’ est donc la droite
D passant par le point fixe A et orthogonale
à l’axe des abscisses.
Ainsi, on a :
T[(C)
– {O}] = D
L’inversion transforme le cercle (C), privé
du point O, en une droite D orthogonale au
support du
diamètre de (C).
11-
Soit,
dans le plan complexe, deux points
distincts, A et B, d’affixes respectives a
et b, et M un point quelconque, d’affixe z.
Calcule l’affixe, z’, du point M’ image de M
dans la réflexion ou symétrie axiale d’axe
(AB).
Solution
Donc ces deux complexes sont conjugués.
Or, on sait que :
Donc, on doit avoir :
Ce qui donne :
Après simplification, on obtient :
Comme A est différent de B, donc a est
différent de b ou (a – b) est différente de 0
ou encore la
différence des
conjugués de a et de b est différente de 0, on
obtient :
Pour M = B, c’est-à-dire z = b, on a :
Donc, M’ et M se confondent avec B.
Ainsi,
la formule donnant
z’ est encore valable pour M = B.
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 19ème partie
12-
On
donne dans un plan complexe trois points
distincts A, B et C d’affixes respectives a,
b et c.
Démontre qu’une condition
nécessaire et
suffisante pour que A, B et C soient alignés
est que l’on ait :
Solution
Les points A, B et C sont alignés si et
seulement si :
De plus, on sait qu’un nombre complexe est
réel si et seulement s’il est égal
à son conjugué.
Par conséquent, la condition énoncée
ci-dessus est logiquement équivalente à :
On remarque qu’on retrouve facilement cette
condition nécessaire et suffisante
d’alignement de trois points distincts,
en appliquant une permutation circulaire
sur a, b, c.
13-
Dans
le plan complexe on donne un triangle (ABC)
dont le sens est directe (c’est-à-dire, le
sens A, B, C est positif ou celui du sens
contraire des aiguilles d’une montre) et
dont les sommets ont pour affixes zA,
zB et zC.
On
désigne les longueurs des côtés et les
mesures, en radian, des angles de ce
triangle respectivement par a, b, c et A, B,
C.
a-
Démontre que l’on a :
b-
En
déduire que, dans ce triangle, on a les
relations suivantes :
Solution
a-
Par ailleurs, on a :
b-
On a l’égalité évidente :
zC – zA + zA
– zB = zC – zB
D'où l'écriture :
Compte tenu des relations (1) et (2), cette
dernière égalité s’écrit alors :
Par permutation circulaire sur a, b, c,
d’une part, et A, B, C d’autre part, on
obtient les relations classiques dans un
triangle quelconque :
a = b
cos C + c cos B
b = c
cos A + a cos C
c = a
cos B + b cos A
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 20ème partie
14-
On
construit le carré (PRQS) de sens direct (le
sens positif, c’est-à-dire le sens contraire
des aiguilles d’une montre est celui de P,
R, Q, S) et de diagonale [PQ].
Montre
que l’un des points R et S reste fixe et
trouve l’ensemble des positions de l’autre
(on dit aussi le lieu géométrique de
l’autre).
Solution
L’affixe de P est p + 0i = p et celle de Q,
0 + qi = qi.
L’affixe z de R est donc solution de
l’équation :
Sa résolution donne :
Or, p + q = a, constante réelle.
L’affixe z de R est donc constante et le
point R est fixe.
L’affixe z’ de S est solution de
l’équation :
Sa résolution donne :
Ainsi, on a :
On obtient finalement :
15-
a-
Montre qu’une condition nécessaire et
suffisante pour que le triangle (ABC) soit
équilatéral est que l’on ait :
b- En
déduire, entre a, b et c, une relation
nécessaire et suffisante pour que (ABC) soit
équilatéral.
Solution
a-
Le triangle (ABC) est
équilatéral
si et seulement s’il
est isocèle de sommet C et l’on a
:
Cette
condition est logiquement équivalente à
celle qui suit :
Or, ces deux égalités traduisent l’égalité
des arguments et celle des modules
des rapports complexes :
D'où
l’égalité
complexe :
Cette
égalité caractérise donc un triangle
équilatéral dont les sommets sont A, B et C.
b-
Compte tenu de la relation (1), le triangle
(ABC) est équilatéral si et seulement si :
Or, on sait que :
(a – b)2 = a2 – 2ab +
b2
(b – c)2 = b2 – 2bc +
c2
(c – a)2 = c2 – 2ac +
a2
En additionnant membre à membre ces trois
égalités, on obtient :
(a – b)2
+ (b – c)2 + (c – a)2
=
2a2
+ 2b2 + 2c2 – 2ab –
2ac – 2cb
Û
(a – b)2
+ (b – c)2 + (c – a)2
=
2(a2
+ b2 + c2 – ab – ac –
cb)
Û
Ainsi, la relation nécessaire et suffisante
(a2 + b2 + c2
– ab – ac – cb = 0) est logiquement
équivalente à :
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 21ème partie
16-
Dans
un plan complexe (P), le nombre complexe u
étant donné, détermine l’ensemble, E, des
points M(z) tels que le nombre :
Solution
Or, on a :
Si on nomme (C) ce
cercle, alors
E = (C) – {A}.
17-
Dans
un plan complexe, on donne le point M
d'affixe z.
Donne
la nature de la transformation F, définie
comme suit :
Solution
On détermine d’abord les points invariants
ou points doubles de F.
Pour cela, on pose :
Cette équation en z donne :
z0 = i et z1 = – i
Les
points invariants par F sont donc A(0 , 1)
et A’(0 , –1).
A et A’ appartiennent à (y’y) et sont
symétriques par rapport à O.
On trace le cercle (C) passant par M, A et
A’.
(MO) rencontre (C) en un second point m et
on sait que :
Par ailleurs, on a :
Soit M’ l’image de m dans la symétrie axiale
S(x’x) .
Les nombres complexes - Notation exponentielle et application à
la Géométrie (transformations ponctuelles) - 22 ème partie
18-
Dans le plan complexe, on donne trois
points alignés S, M et M’ (M et M’
distincts de S), d’affixes respectives
s, m et m’.
Démontre que l’on a :
Application : Soit (ABC) un triangle
quelconque du plan, G son centre de
gravité et A’, B’, C’, les points où les
médianes (GA), (GB) et (GC) recoupent le
cercle (C), circonscrit au triangle.
On
désigne par g l’affixe de G et par a’,
b’ et c’, celles de A’, B’ et C’.
Démontre que l’on a :
Solution
On peut donc écrire :
On sait que :
On obtient :
Comme M et M’ sont distincts de S, donc
m différent de s et m’ différent de s ou
(m – s) et (m’ – s) différents de 0, on
peut simplifier par
(m – s) et (m’ –s).
On obtient finalement :
Application
Soient a, b et c les affixes de A, B et
C et p (p est strictement
négative car G est à
l'intérieur du cercle) la puissance de G
par rapport au cercle (C).
On a :
Compte tenu de la
relation démontrée ci-dessus, on a :
On en déduit les
relations :
Par ailleurs, G étant le centre de
gravité du triangle (ABC), on a :
Donc, (a – g) + (b – g) + (c – g) = 0 ;
ce qui implique que :
Par conséquent, en additionnant membre à
membre les égalités (1), (2) et (3), on
obtient finalement :
Comme p est strictement négative, on
obtient :
19-
C
étant l’ensemble des nombres complexes,
à l’application de C dans C, définie
par :
correspond alors la transformation T du
plan P qui au point m d’affixe z associe
le point M d’affixe Z.
Vérifie que le milieu du segment [mM]
appartient à
l'axe des abscisses et que, si m est
distinct de M, la droite (mM) a une
direction fixe.
Détermine la nature de T.
Définition
Soient dans un plan un axe quelconque
(d) et une droite D distincte de (d).
Soit un réel k différent de 0.
Soit M un point quelconque de ce plan et
(MH) la droite passant par M, parallèle
à D et rencontrant l’axe (d) au point H.
On appelle
affinité
oblique de direction D, d’axe (d) et de
rapport k,
la transformation ponctuelle qui au
point M fait correspondre le point image
M’ tel que :
On note
A[(d) , D , k],
cette affinité oblique.
L’axe (d) est invariant point par point
par cette transformation ponctuelle.
Si
k est différent
de 1,
la droite D est globalement invariante
par cette transformation ponctuelle.
Cas particuliers :
Si
k = –1,
alors l’affinité sera dite
symétrie
oblique.
Si
D est
orthogonale à (d),
alors l’affinité sera dite
affinité
orthogonale d’axe (d) et de rapport k.
Si
k = 1,
alors l’affinité se réduit à la
transformation dite
Identité,
notée Id.
Solution
Soit W(w) le milieu de [mM].
Par conséquent, on a :
M étant différent de m, on a :
1ère S
Produit scalaire et
relations métriques dans un triangle quelconque - 1ère partie
Je retiens
Définition
Exemple :
Les réciproques de
chacun des énoncés ci-dessus sont vraies.
On
a :
En
tenant compte de ces résultats, on obtient :
C’est l’expression analytique
du produit scalaire V . V’ dans sa forme
générale
(R est quelconque)
Trois
cas particuliers :
R
est normé
ou normal,
c’est-à-dire, les normes des
deux vecteurs unitaires sont égaux à 1;
dans ce cas, on obtient :
Par conséquent, on
obtient :
Par conséquent, on
obtient :
Produit scalaire et
relations métriques dans un triangle quelconque - 2ème partie
Propriétés du produit scalaire
Les démonstrations de ces propriétés
ont été établies dans le cas où le repère R est orthonormal
Il faut savoir qu'elles
restent également vraies dans le cas où R est quelconque
Démonstration
Démonstration
Démonstration
Conclusion :
Le produit scalaire
étant simultanément distributif à gauche et à droite par rapport à l'addition
vectorielle, on dira
qu'il
est distributif par rapport à cette addition.
On peut alors écrire :
Démonstration
De
ces dernières propriétés, on peut facilement déduire la propriété suivante :
Il
est facile d’établir la démonstration de cette propriété importante.
Applications de cette propriété
1-
Exemple :
2-
Exemple :
Produit scalaire et
relations métriques dans un triangle quelconque - 3ème partie
Je m’entraîne
1-
On te donne dans le plan un triangle
quelconque
(ABC) dont O est milieu du côté [BC].
On a les égalités vectorielles :
Calcule
AB2
et
AC2
Démontre les deux relations :
Solution
En
additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
Abusivement, on dira que dans un triangle quelconque, la somme des carrés
de deux côtés est
égale au double du carré de la médiane relative au troisième
côté et de la moitié du carré de ce
troisième côté.
Si
[BM] et [CN] sont les médianes relatives respectivement aux côtés [AC] et [AB],
par permutation
circulaire, on a :
En
soustrayant membre à membre les deux premières égalités ci-dessus, on obtient :
En
appliquant cette propriété à la dernière égalité ci-dessus, on obtient :
Or, H, C et B appartenant à (BC) et en orientant cette dernière dans le
sens de B vers C (sens positif),
on peut écrire :
Abusivement, on dira que dans un triangle quelconque, la différence des
carrés de deux côtés est égale
au double produit du troisième côté par la mesure
algébrique de la projection orthogonale de la médiane
relative à ce troisième
côté, sur le support orienté de ce dernier.
Remarque
La
quantité positive ou négative AB2 – AC2 nous renseigne
sur le positionnement de H sur (BC) :
H et C sont-ils du même côté ou de part et
d’autre par rapport à O ?
2-
On te donne deux points
fixes
et distincts A et B du plan.
On pose AB = a.
Quel est l'ensemble des points M de ce
plan (lieu géométrique) vérifiant :
MA2 + MB2 = k, k étant un
paramètre constant réel positif quelconque ?
Discuter l'existence et la nature de cet ensemble en fonction du paramètre k.
Quel est le lieu géométrique du point N se déplaçant dans ce plan et vérifiant
la relation :
NA2 – NB2
=
h, h étant un paramètre constant réel
quelconque ?
Etudie le cas banal : h nul.
Solution
D’après, l’exercice précédent, dans le triangle (AMB), si on considère la
médiane [MO] relative au côté [AB], alors :
Discussion
Clique ici pour visualiser
l’ensemble des points M ou la trajectoire que décrit M ou encore
le lieu
géométrique du point M, lorsque M se déplace dans le plan tel que
:
D’après, l’exercice précédent, dans le triangle (ANB), si on considère la
médiane [NO] relative au côté [AB]
et sa projection orthogonale [OH] sur (AB)
orientée de A vers B, alors :
Si
h est nulle, alors H
est confondu ave O. La droite, lieu
géométrique des points N devient donc la
médiatrice du segment [AB].
Pour la seconde
Droite orthogonale à un plan - Quatrième partie
9-
On
considère, dans un plan (P), un cercle (C) de diamètre [AB].
Soient M un point mobile de (C) et S un point fixe de la droite (D) orthogonale
en A à (P).
On
mène de A les perpendiculaires (AE) et (AF) à (SB) et (SM) respectivement.
a-
Montre que (BM) est perpendiculaire à (SM).
b-
Montre que (AF) et (SE) sont respectivement orthogonales aux plans (SEF) et
(AEF).
c-
Quel est l’ensemble des points F lorsque M décrit (C) ?
d-
Quel est l’ensemble des points F lorsque M, restant fixe, le point S décrit
(D) ?
Solution
a-
M
appartenant au cercle (C de diamètre [AB], l’angle inscrit
{[MA) , [MB)}
est droit. Donc (BM) est perpendiculaire à (AM).
(D) ou (SA)
étant orthogonale à (P), est orthogonale à toute droite de (P) et en particulier
à (BM).
Ainsi, (BM)
étant orthogonale aux deux droites concourantes (AM) et (AS) du plan (SAM), est
orthogonale
à ce plan.
(MB)
étant orthogonale au plan (SAM)
est orthogonale
à toute droite de ce plan et en particulier à
(SM).
b-
(BM) étant
orthogonale au plan (SAM) est orthogonale à la droite (AF) incluse dans ce plan.
(AF) est
perpendiculaire à (SM) et est orthogonale à (MB) ; ainsi (AF) est orthogonale à
deux droites
concourantes du plan (SMB) ou (SFE).
La droite (AF) est
donc orthogonale au plan (SEF).
(AF) étant
orthogonale au plan (SEF) est orthogonale à la droite (SE) incluse dans ce plan.
(SE)
étant orthogonale aux deux droites concourantes (AF) et (AE) du plan (AEF)
est
orthogonale à ce plan.
c-
(SE) ou (SB) est
orthogonale au plan (AEF).
Or, A et la
droite (SB) sont fixes. Le plan (AEF) passant par A et orthogonale à (SB)
est également fixe.
Son intersection E avec (SB) fixe est fixe.
(AF) étant
orthogonale au plan (SEF) est orthogonale à la droite (EF) incluse dans ce plan.
Ainsi, dans le
plan fixe (AEF), l’angle {[FA) , [FE)} est droit. De plus A et E sont
fixes.
Par conséquent, M décrivant (C),
F décrit le cercle
(C’) inclus dans le plan fixe (AEF) et de diamètre fixe [AE].
d-
(D) et M étant
fixes, le plan [(D) , M] est également fixe.
Dans ce plan, et
par construction, l’angle {[FA) , [FM)} est droit. De plus, A et M sont
fixes.
Donc, lorsque S décrit (D),
F décrit le cercle
(C’’) inclus dans le plan fixe [(D) , M] et de diamètre fixe [AM].
10-
On donne une droite (D) et un point O n’appartenant pas à (D).
Soient (Q) un plan variable passant par (D) et H le pied de la droite
orthogonale au plan (Q) menée de O.
Quel est, lorsque (Q) varie, l’ensemble des droites (OH) ?
Quel est l’ensemble des points H ?
Solution
O et
(D) étant fixes, le plan [O , (D)] est fixe.
Dans
ce plan, soit la droite perpendiculaire à (D) abaissée de O qui coupe (D) en F.
Dans
ce plan, O et (D) étant fixe, F est fixe.
(D)
est orthogonale à (OH) et à (OF), deux droites concourantes du plan (OHF) ; donc
(D) est orthogonale à ce plan.
Le
plan (OHF) passant par O fixe et tel que (D), fixe, lui est
orthogonale est également fixe ; donc
l’ensemble
des droites (OH) est le plan fixe (OHF).
Dans
le plan fixe (OHF), les points O et F étant fixes et (FH), incluse
dans (Q), étant perpendiculaire à (OH),
l’ensemble des points H est le cercle de diamètre [OF].
11-
On
donne dans un plan (P) un carré (ABCD) dont la longueur de ses côté est a.
Soit M un point de la droite orthogonale (Ax) à (P) menée de A.
On
pose AM = x.
Les droites orthogonales en M aux plans (MBC) et (MCD) coupent (P) en R et S.
a-
Montre que les points A, B et R sont alignés, et qu’il en de même des points A,
D et S.
b-
Calcule AR et AS en fonction de a et x.
c-
Quel est, lorsque M décrit (Ax), l’ensemble des points I milieux de [RS] ?
d-
Montre que (MC) est orthogonale au plan (MRS).
Solution
a-
(MR)
étant orthogonale au plan (MBC) est orthogonale à la droite (BC) incluse dans ce
plan.
(ABCD) étant un carré, (BC) est orthogonale à (AB).
(BC)
étant orthogonale à deux droites concourantes (AB) et (AM) du plan (ABM) est
orthogonale à ce plan.
Ainsi, le plan (ABM) est l’ensemble des droites passant par M et orthogonales à
(BC).
Comme (MR) issue de M est orthogonale à (BC), elle est incluse dans le plan
(ABM).
R
appartenant simultanément à (P) et au plan (ABM), appartient donc à leur
intersection (AB).
Par
conséquent A, B et R sont
alignés.
(MS)
étant orthogonale au plan (MCD) est orthogonale à la droite (CD) incluse dans ce
plan.
(ABCD) étant un carré, (CD) est orthogonale à (AD).
(CD)
étant orthogonale à deux droites concourantes (AD) et (AM) du plan (ADM) est
orthogonale à ce plan.
Ainsi, le plan (ADM) est l’ensemble des droites passant par M et orthogonales à
(CD).
Comme (MS) issue de M est orthogonale à (CD), elle est incluse dans le plan (ADM).
S
appartenant simultanément à (P) et au plan (ADM), appartient donc à leur
intersection (AD).
Par
conséquent A, D et S sont
alignés.
b-
Dans
le plan (ABM), le triangle (RMB) est rectangle en M et (MA) est sa hauteur
relative à l’hypoténuse [BR].
Or,
on sait que dans un triangle rectangle, la longueur de la hauteur
relative à l’hypoténuse est moyenne proportionnelle aux deux segments que cette
hauteur définit sur cette hypoténuse.
On
applique le même raisonnement au triangle rectangle (DMS), rectangle en M et
inclus dans le plan (ADM).
On
trouve :
c-
AR =
AS implique que (SAR) est un triangle isocèle dont la base est [RS] ; la
bissectrice de son angle au sommet
a donc son support confondu avec celui de la médiatrice de sa base.
Ainsi I milieu de [RS] appartenant à la médiatrice de [RS], appartient également
à la bissectrice de l’angle droit
et fixe {[AS) , [AR)}.
L’ensemble des points I est donc la bissectrice fixe de l’angle droit et fixe
{[AS) , [AR)}.
d-
(MR)
étant orthogonale au plan (MBC) est orthogonale à toute droite incluse dans ce
plan et en particulier
à la droite (MC).
(MS)
étant orthogonale au plan (MCD) est orthogonale à toute droite incluse dans ce
plan et en particulier
à la droite (MC).
(MC)
étant orthogonale à deux droites concourantes (MR) et (MS) du plan (MRS)
est donc orthogonale à ce plan.
Droite orthogonale à un plan - 2ème partie
3-
On donne dans un plan (P), un triangle équilatéral (ABC) dont le centre de
gravité est O.
Soit M un point quelconque de la perpendiculaire en O à (P), M étant donc
distinct de O.
a- Montre que les arêtes opposées du tétraèdre (MABC) sont orthogonales.
b- La perpendiculaire en M au plan (MBC) coupe (P) en A’.
Montre que les trois points O, A et A’ sont alignés ;
c- E étant le milieu de [BC], montre que l’on a :
OM2 = OA’ . OE
Solution
a-
Le triangle
(ABC) étant équilatéral, son centre de gravité O est également son orthocentre,
c’est-à-dire le point
d’intersection des ses trois hauteurs. Par conséquent, (BO) est une de ces
hauteurs et (AC) est orthogonale à (BO).
(AC) étant
orthogonale à (OM) par construction et à (OB), deux droites concourantes du plan
(OBM), est
orthogonale à ce plan. Donc
(AC) est
orthogonale
à toute droite
de ce plan et en particulier
à (MB).
De la même
manière on démontre que (MA) et (BC), d’une part, (MC) et (AB) d’autre part,
sont orthogonales.
b-
(A’M) étant
orthogonale au plan (MBC), est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (BC).
(BC) étant
incluse dans le plan (P), est orthogonale à (OM).
(BC) étant
orthogonale aux deux droites concourantes (OM) et (A’M) du plan (OMA’) est
orthogonale à ce plan ;
Par conséquent, (BC) est orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier
à (A’O).
Dans (P), (A’O)
et (AO) sont perpendiculaires à (BC).
Or, dans un
plan, par un point, il ne passe qu’une et une seule perpendiculaire à une droite
donnée.
Donc, (A’O) et
(AO) sont confondues et
A’, A, O sont
alignés.
c-
Dans le triangle
équilatéral (ABC), E étant milieu de [BC] et O étant le centre de gravité, [AE]
est une médiane et
A’, A, O, E sont alignés.
Par ailleurs,
(A’M) étant orthogonale au plan (MBC), est orthogonale à toute droite de ce plan
et en particulier
à (ME).
Ainsi, le
triangle (A’ME) est un triangle rectangle en M.
Dans ce triangle
rectangle, [A’E] est l’hypoténuse et [MO] est la hauteur relative à cette
hypoténuse.
Or, on sait que
dans un triangle rectangle, la longueur de la hauteur relative à
l’hypoténuse est moyenne proportionnelle aux longueurs des deux segments qu’elle
définit sur cette hypoténuse.
Ainsi :
4-
On considère deux points distincts et fixes A et B.
Quel est l’ensemble des points M et N de l’espace tels que :
a- MA > MB ?
b- NA2 – NB2 = k2 (k constante réelle donnée) ?
Solution
a-
Soit (P) le plan
médiateur du segment [AB].
Par définition
(P) est l’ensemble des points de l’espace équidistants de A et B ; donc (P)
est orthogonale à
(AB) et passe par le milieu O de [AB].
(P) partage
l’espace en trois régions :
(P)
EA ,
l’ensemble des points de cet espace situés du même côté que A par rapport à (P)
EB ,
l’ensemble des points de cet espace situés du même côté que B par rapport à (P)
Ainsi,
EB est
l’ensemble des points M de cet espace tels que :
MB < MA ou MA > MB.
b-
Dans le triangle
(NAB), [NO] est une médiane. Soit, dans le plan (NAB), H le projeté orthogonal
du point N sur (AB).
On sait que :
A et B étant
fixes, le segment [AB] a une longueur constante.
L’ensemble des
point N est donc le plan (Q) perpendiculaire à (AB) fixe et passant par H fixe.
Remarque
k = 0 implique
le cas banal où (Q) devient confondu avec le plan médiateur (P).
5-
On donne un plan
(P) et deux points A et B n’appartenant pas à (P).
Quels sont les
points M et N de (P) tels que :
MA = MB ?
NA2 – NB2 = h2 (h constante réelle donnée) ?
Solution
A et
B étant fixes, [AB] est fixe et son plan médiateur (Q) l’est également.
Les
points M de (P) tels que MA = MB appartiennent à (Q).
M
appartenant à la fois à (P) et à (Q), appartiennent également à l’intersection
(d) de (P) et de (Q).
(P)
et (Q) étant fixes, (d) l’est également.
Par
conséquent, l’ensemble des
points M de (P) tels que MA = MB est (d).
Soit
O milieu de [AB] ; O appartient à (Q).
Dans le triangle
(NAB), [NO] est une médiane.
Soit, dans le
plan (NAB), F le projeté orthogonal du point N sur (AB).
On sait que :
De plus (NF)
est orthogonale à (AB) fixe.
Par conséquent
les points N appartiennent au plan (R) orthogonal à (AB) fixe et passant par
F fixe.
Les points N
appartenant à la fois à (R) fixe et à (P) fixe,
appartiennent à
l’intersection (d’) fixe de (R) et (P).
Droite orthogonale à un
plan - Troisième partie
6-
On donne un plan (P) fixe.
Soit A un point fixe quelconque
de l’espace et n’appartenant pas à (P).
Trouve l’ensemble des points M
de (P) tels que AM = d ( d étant une longueur donnée).
Solution
Soit O le
projeté orthogonal de A sur (P). A et (P) étant fixes, O l’est également.
Donc, [AO]
est fixe et AO est une constante.
Posons AO =
D.
(OA) étant
orthogonale à (P) est orthogonale à toute droite de (P) et en particulier à
(OM).
Dans le
triangle rectangle (AOM), rectangle en O, le théorème de Pythagore donne :
AM2
= AO2 + OM2 ou OM2 = AM2
– AO2 = d2 – D2
Si d est égale
à D, l’ensemble des points M de (P) tels que MA = d est {O}.
Si d est
strictement inférieure à D, alors (d2 – D2) est
strictement négative et
l’ensemble des
points M de (P) tels que AM = d est l’ensemble vide.
7-
On donne dans un plan (P), un
point fixe O et un point variable M.
A étant un point fixe
n’appartenant pas à (P), quel est l’ensemble des points M tels que :
a) mes {[AO) , [AM)} = 90° ?
b) mes {[OA) , [OM)} = 90° ?
c) mes {[MA) , [MO)} = 90° ?
Solution
a)
A et O étant fixes, le segment
[AO] l’est également.
Le plan (Q) passant par A fixe et
tel que (AB) lui est perpendiculaire est donc fixe.
(MA) étant orthogonale à (OA), est
donc incluse dans (Q).
Soit (d) l’intersection de (P) et
(Q) ; ces deux plans étant fixes, (d) l’est également.
M appartenant à (MA) et (MA)
incluse dans (Q), M appartient à (Q).
M appartenant simultanément à (P)
et à (Q), appartient donc à (d).
L’ensemble des points M tels que
mes {[AO) , [AM)} = 90° est
donc (d).
b)
Soit A’ le projeté orthogonal de A
sur (P). Comme A est fixes, A’ l’est également.
(OM) est incluse dans (P). Le
projeté de l’angle droit {[OA) , [OM)} sur
(P)
sera donc l’angle droit {[OA’) , [OM)}.
Ainsi, dans
(P),
l’ensemble des points M sera la droite (D) passant par O fixe
et orthogonale à (OA’) fixe.
c)
O et A’
étant fixes et la mesure de {[MA) , [MO)} étant égale à 90°,
l’ensemble des
points M est donc le cercle de diamètre [OA’].
8-
On donne un tétraèdre (OABC)
dans lequel les angles AOB, BOC et COA, tous de
sommet O, sont droits.
Soit H le pied de la droite
orthogonale au plan (ABC) menée de O.
a-
Montre que H est l’orthocentre
du triangle (ABC)
b-
Montre que l’on a :
c-
Montre que le carré de la
surface du triangle (ABC) est égal à la somme des carrés
des surfaces des triangles (OAB), (OBC) et (OCA).
Solution
a-
(OC) est
simultanément orthogonale à (OB) et (OA) ; ainsi, (OC) étant orthogonale à
deux droites concourantes (OB) et (OA) du plan (OAB) est orthogonale à ce
plan.
Par
conséquent, (OC) est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (AB).
(AB) étant
incluse dans le plan (ABC), est orthogonale à (OH).
Ainsi, (AB)
est orthogonale aux deux droites concourantes (OC) et (OH)
du plan (OCH) ; elle est donc orthogonale à ce plan.
(AB) étant
orthogonale au plan (OCH), est orthogonale à toute droite de
ce plan et en particulier à (CH). Par conséquent, (CH) est le support
d’une hauteur du triangle (ABC).
(OA) est
simultanément orthogonale à (OB) et (OC) ; ainsi, (OA) étant orthogonale
à deux droites concourantes (OB) et (OC) du plan (OBC) est orthogonale à
ce plan.
Par
conséquent, (OA) est orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier à
(BC).
(BC) étant
incluse dans le plan (ABC), est orthogonale à (OH).
Ainsi, (BC)
est orthogonale aux deux droites concourantes (OA) et (OH) du plan (OAH) ;
elle est donc orthogonale à ce plan.
(BC) étant
orthogonale au plan (OAH), est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (AH). Par conséquent, (AH) est le support d’une seconde hauteur
du
triangle (ABC).
H
appartenant simultanément à (AH) et à (CH),
et sachant que les trois hauteurs
d’un triangle sont concourantes en un seul point,
H est donc
l’orthocentre du triangle
(ABC).
b-
Soit R
l’intersection de (CH) et e (AB).
(OC) étant
orthogonale au plan (OAB), est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (OR).
(OH) étant
orthogonale au plan (ABC), est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (CR).
Ainsi, le
triangle (OCR) est un triangle rectangle en O. Dans ce triangle,
on a la propriété suivante :
L’inverse du
carré de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est
égal à la somme des inverses des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle
droit.
Donc,
(AB) étant
orthogonale au plan (OCH), est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à (OR).
Ainsi, [OR]
est la hauteur relative à l’hypoténuse [AB] dans le triangle (OAB) rectangle en
O.
On a
également :
b-
Le carré de la surface du triangle
(ABC) est :
Or, dans le triangle (ORC)
rectangle en O, le théorème de Pythagore donne :
CR2 = OR2 +
OC2
Dans le triangle (OAB) rectangle
en O, le théorème de Pythagore donne :
AB2 = OA2 +
OB2
En remplaçant dans (2), AB2
par son égale (OA2 + OB2), on obtient :
POUR LA SIXIÈME
Points –
droites – Segments de droite – Plan
Remplacer :
MA = MB = AB / 2
Par :
Remplacer :
NB = NC = BC / 2
Par :
Remplacer :
Or MN = MB + BN. En remplaçant
dans cette égalité, MB par son égale AB / 2 et BN par son égale BC / 2, on
obtient :
MN
= AB / 2 + BC / 2 = (AB + BC)
/ 2
Donc, MN
= AC / 2 = 9 / 2 cm ou
4,5 cm.
Par :
Modifier :
Trouve :
[AB]
È
[CE] ; [BD]
È
[EF] ; [AB] Ç
[CE] ; [BD] Ç
[EF] ; [AE]
Ç
[BC] ; [AC[
È
]CB] ; [CD[
È
]DF].
(ici, " X
Ç
Y " veut
dire "
ensemble des points communs à X et à Y ")
Solution
On a :
[AB]
È
[CE] = [AE] ; [BD]
È
[EF] = [BF] ; [AB] Ç
[CE] = [CB] ;
[BD] Ç
[EF] = [ED] ; [AE]
Ç
[BC] = [BC] ; [AC[
È
]CB] = [AB] - {C} ;
[CD[
È
]DF] = [CF] - {D}.
Angles
intérieurs d’un triangle
Remplacer :
a = b
= 60° / 2 = 30°.
Par :
Une propriété des milieux de segments de droite
Remplacer :
(AB + BC) / 2 ; que
constates -tu ?
Par :
Remplacer :
mes [MN] = mes [AC] / 2
Par
Remplacer :
(AB + BC) / 2
= (3 cm + 5 cm) / 2 = 8 / 2 cm
= 4 cm
J'ai donc MN = (AB + BC) / 2.
Par :
Remplacer :
Donc, je constate que
MN = AC / 2.
Par :
Remplacer :
M étant milieu de [AB], donc MA
= MB = AB / 2.
N étant milieu de [BC] , donc
NB = NC = BC / 2.
Par :
Remplacer :
Par conséquent, MN = AB / 2 +
BC / 2 = (AB + BC) / 2.
Par :
Remplacer :
MN = AC / 2 ou
mes [MN] = mes [AC] / 2
Par :
POUR LA CINQUIÈME
Triangles
équivalents
Remplacer :
L'aire
S de (ABC) est AH . BC / 2.
Par :
Attention
aux données d’une équation à résoudre
Remplacer :
Or, inv(2) =
1/2 et inv(2) . 2 = 1; donc :
1
. X = X = (1/2) . (+1)
= +1/2
Par :
Proportionnalité
Remplacer :
u1
/ u’1
= u2 /
u’2 = u1
/ u’3 =
u4 /
u’4 = ...
=
uk / u’k
= ... = uN / u’N
= a
Par :
Remplacer :
présentent une
proportionnalité de rapport
a = 1/3; en effet
2/6 =
–5/–15
= 12/36 = 1/3
Par :
Remplacer :
On a donc
K = u1
/ u’1 =
u2 /
u’2
; cette égalité de
deux fractions sera appelée
proportion.
Par :
Remplacer :
L'équation K = u1
/ u’1 donne u1 = K . u’1
L'équation K = u2
/ u’2 donne u’2 = u2 / K
Donc
u1 . u’2
= (K . u’1)
. (u2 / K) = K.u’1.u2 / K
Par :
Remplacer :
–1/4 = 3/–12
donne –1
´ –12 = 4
´ 3
3/7 = 24/56 donne 3
´
56 = 7 ´ 24
Par :
Remplacer :
u1
/ u’1
= u2
/ u’2
= (u1
+ u2)/(
u’1
+ u’2)
= (u1
–
u2)/( u’1
– u’2)
Par :
Remplacer :
Ainsi, a / b = c /
d = e / f = g / h, avec par exemple,
Par :
Remplacer :
a / b = c / d = e / f = g / h = (a
+
c
– e
– g) / (b
+
d
– f
– h)
Par :
Remplacer :
–1/2 = 8/–16 =
(–1 + 8)/[2 +(–16)] = 7/–14
3/7 = 33/77 = (3 +33)/(7+77) =
36/84
4/9 = 20/45 = (4 – 20)/(9 – 45) =
–16/–36 = 16/36
Par :
Remplacer :
–3 / –27 = +7 / A = –12 / B = +9 /
C = –24 / D = +2 / E
Par :
Remplacer :
Or, –3 / –27 =
+1 / 9.
Par :
Remplacer :
Donc le rapport
de proportionnalité est +1 / 9.
Par :
Remplacer :
+7 / A = +1 / 9
–12 / B = +1 / 9
+9 / C = +1 / 9
–24
/ D = +1 / 9
+2 / E = +1 / 9
Par :
Remplacer :
1 / 4 = X /
12 ; –5 / –12
= –15 / Z
Par :
Remplacer :
1 / 4 = X / 12
implique (1) . (12) = 4 . X ou 4X = 12
Par :
Remplacer :
4X / 4 = 12 / 4
ou X = 3
Par :
Remplacer :
–5 / –12 = –15 /
Z implique (–5) . Z = (–12) . (–15) ou (–5) . Z = +180
Par :
Remplacer :
(–5).Z / (–5) =
(+180) / (–5) ou Z = –180 / 5 = – 36
Par :
Remplacer :
A / 5 = B / 2 =
C / 3
Par :
Remplacer :
Or, on connaît
la propriété a / b = c / d = e / f = (a + c + e) / (b + d + f).
Par :
Remplacer :
A / 5 = B / 2 =
C / 3 = (A + B + C) / (5 + 2 + 3) = 1200000 / 10 = 120000
Par :
Remplacer :
A / 5 = 120000
ou A = 120000 . (5) = 600000
B
/ 2 = 120000 ou B = 120000 . (2) = 240000
C
/ 3 = 120000 ou C = 120000 . (3) = 360000
Par :
Remplacer :
–3 / +12 = –24
/ A
Par :
Remplacer :
A = (–288) / (–3)
= +96
Par :
comment résoudre une équation ?
Remplacer :
L'équation A .
x + B = C est équivalente à (A . x + B) /
D = C / D,
avec D différent de 0.
Par :
Remplacer :
abs(a),
est le nombre obtenu en
supprimant le signe de a.
Par :
Remplacer :
Exemples :
abs(+5,2) = 5,2 ; abs (- 1/4) = ¼
Par :
Remplacer :
Exemples : opp(+3,45)
= -3,45 ; opp(-1/8) = +1/8
Par :
Remplacer :
a étant un
nombre quelconque
différent de zéro,
l'inverse de a,
que l'on note
inv(a), est
la quantité 1/a.
Exemples : inv(+3,45) = 1/+3,45
; inv(-8) = -1/8
Par :
Remplacer :
Or nous
savons que A . inv(A) = 1 et que inv(A) = 1 / A; donc :
Par :
Remplacer :
1 . x =
x = inv(A) . [C + opp(B)] = 1/A .
[C + opp(B)]
La solution est finalement
1/A . [C + opp(B)].
Par :
Remplacer :
Multiplions
les deux membres de cette dernière équation par inv(2) qui vaut 1/2; on obtient
:
(1/2) . 2x = (1/2) . (+8)
Or (1/2) . 2 = 1 et (1/2) .
(+8) = +8/2 = +4; donc
Par :
Remplacer :
-5x - 3 = 0
; -4y + 1/2 = 5 ; -3t - 1/4 = 0
Par :
Remplacer :
Multiplions
les deux membres de cette dernière équation par inv(-5) qui vaut -1/5; on
obtient :
(-1/5) . -5x = (-1/5) . (+3)
Or, (-1/5) . (-5) = 1; donc :
1 . x =
x = (+3) . (-1/5) = (+3/1) . (-1/5) = [(+3) . (-1)] / 1 . 5 =
- 3/5
-4y + 1/2 = 5
Par :
Remplacer :
-4y + 1/2 +
opp(+5) = 5 + opp(+5)
Par :
Remplacer :
-4y + 1/2 +
(-5) = 0 ou -4y + [1 + 2 . (-5)] / 2 = 0 ou
-4y +
(-9/2) = 0
Par :
Remplacer :
Ajoutons opp(-
9/2) aux deux membres de cette dernière équation ; on obtient :
-4y + (-9/2) + opp(-9/2) = 0 +
opp(-9/2)
Or, on sait que (-9/2) + opp(-9/2)
= 0 et que opp(-9/2) = +9/2; donc :
-4y + 0 = (+9/2) ou -4y = +9/2
Multiplions les deux membres de
cette dernière équation par inv(-4) =
-1/4; on obtient :
(-1/4) . -4y = (-1/4) . (-4) .
y = (-1/4) . (+9/2)
Or, on sait que (-1/4) . (-4) =
1; donc :
1 . y =
y = (-1/4) . (+9/2) = [(-1) . (+9)] / [(4) . (2)]
= - 9 / 8
Par :
Remplacer :
L'équation -3t
- 1/4 = 0 est logiquement équivalente à -3t + (-1/4) = 0
Ajoutons opp(- 1/4) = +1/4 aux
deux membres de cette dernière équation ;
on obtient :
-3t + (-1/4) + (+1/4) = 0 +
(+1/4)
Or, on sait que (-1/4) + (+1/4)
= 0; donc :
-3t + 0 = -3t = +1/4
Multiplions les deux membres de
cette dernière équation par inv(-3) =
-1/3; on obtient :
(-1/3) . -3t = (-1/3) . (-3) .
t = (-1/3) . (+1/4)
Or, on sait que (-1/3) . (-3) =
1; donc :
1 . t =
t = (-1/3) . (+1/4) = [(-1) . (+1)] / [(3) . (4)]
= - 1/12
Par :
rectangle équivalent à un triangle
Remplacer :
Je sais que si
S est l'aire de (ABC), alors S = (AH . BC) / 2 ou encore, comme AM = AH / 2, S =
AM . BC
Par :
un triangle isocèle
Remplacer :
La bissectrice de l'angle
intérieur en B partage celui-ci en deux angles de même mesure 35° / 2.
Par :
POUR LA QUATRIÈME
Le cosinus de la mesure d'un angle aigu
Je comprends
Je dessine le Soleil, un arbre et son ombre projetée au sol supposé horizontal.
J’ai
donc un triangle rectangle (Stp), de sommet S : sommet de l’arbre,
d’angle droit au pied p de l’arbre.
L’autre sommet t de ce triangle est le point extrême de l’ombre projetée au sol.
L’ombre
projetée est donc représentée par le côté [tp] de longueur Oi. Ci est la
longueur de l’hypoténuse [tS].
La
mesure en degrés de l’angle {[tp), [tS)} est a.
Par définition,
je nomme
cosinus (a)
le rapport :
J’écris :
J’en
déduis :
Si
j’applique ces résultats à la mesure b de l’angle au sommet S, j’obtiens :
J'en déduis
que
la hauteur H de
l’arbre est égale à :
Ci . cos(b)
Je me souviendrai
Dans un
triangle rectangle
quelconque :
Le cosinus d’un angle
aigu est égal
au rapport
de la longueur du côté de
l’angle droit, qui
lui est adjacent,
à la longueur de
l’hypoténuse.
L’hypoténuse étant le côté ayant la plus grande longueur, le rapport
défini ci-dessus est
toujours inférieur à 1.
Donc,
le cosinus d’un angle aigu est toujours largement
compris entre 0 et 1.
On écrit :
Pour tout angle aigu a, 0 ≤ cos a ≤ 1
A
quelles mesures d’angle correspondent les valeurs 0 et 1 pour leurs cosinus
respectifs ?
On prend
un triangle rectangle (ABH), rectangle en H. [AB] est son hypoténuse.
On
suppose A fixe et B mobile se déplaçant alors sur la perpendiculaire (d) à [AH]
menée par H.
a est la
mesure, supposée en degrés, de l’angle aigu en A.
Pour
toute position de B, le triangle (ABH) reste rectangle en H et on a :
Or,
lorsque B se déplace et vient se confondre avec le point H, l’hypoténuse
[AB] vient se
confondre
avec [AH]
et
l’angle au sommet A devient l’angle nul, donc a = 0°.
Conclusion :
cos 0° = 1
Lorsque
B se déplace sur (d) en s’éloignant à l’infini, l’hypoténuse [AB] voit
sa longueur
devenir infiniment
grande et l’angle au sommet A voit sa mesure tendre vers 90°.
Conclusion :
cos 90° = 0
Je m’entraîne
On te donne un demi
triangle équilatéral (ABC) dont le sommet de l’angle droit est en C.
L’hypoténuse est [AB] qui mesure 8 cm.
[BC] est le côté
opposé à l’angle au sommet A mesurant 60°.
Quelle est la
longueur du côté [AC] ?
Calcule, cos 60° et
cos 30°.
Solution
Le
théorème de Pythagore appliqué à ce triangle rectangle donne :
AB2
= AC2 + CB2
ou
On obtient :
Si a est
la mesure, supposée en degrés, de l’angle au sommet A, alors :
Or, dans
le triangle rectangle demi équilatéral (ABC), la mesure a vaut 60°; donc :
Si b est
la mesure, supposée en degrés, de l’angle au sommet B, alors :
Or, b =
30° ; donc :
On te donne un
triangle rectangle isocèle (ABC) dont le sommet de l’angle droit est en C.
L’hypoténuse est [AB] qui mesure 10 cm.
Quelle est la
longueur commune des deux autres côtés ?
Calcule cos 45°.
Solution
Le
théorème de Pythagore appliqué à ce triangle rectangle isocèle
(AC =
CB) donne :
J'en déduis :
J'obtiens finalement :
Si a est
la mesure, supposée en degrés, de l’angle au sommet A, alors :
Or, dans
le triangle rectangle isocèle (ABC), la mesure a vaut 45° ; donc :
Une échelle s’appuie
sur un mur vertical et fait avec le sol, supposé horizontal, un
angle de 80°.
Son pied se situe à
75 cm du mur.
Calcule :
la longueur de cette
échelle ;
l’altitude de son
point d’appui sur le mur, sachant que celle du pied de ce dernier est à 653, 45
m.
(On prendra tous les
cosinus d’angle à un centième près par défaut)
Solution
Si A est le pied de l’échelle, M le pied du mur et S le sommet de l’échelle
par lequel elle s’appuie
sur le mur, alors le triangle (AMS) est un triangle rectangle en M, dont
l’hypoténuse est [AS].
La
longueur de l’échelle est donc AS. De plus, on a : AM = 75 cm et l’angle en A
mesure 80°.
On sait
que :
AM = AS
. cos 80°
On en
déduit :
La
calculatrice donne :
cos 80°
= 0,17364817766693034885171662676931
Comme il
faut prendre cos 80° à un centième près par défaut, alors on a :
cos 80°
= 0,17
Le point
d’appui de l’échelle sur le mur est S.
L’altitude de S est l’altitude du pied du mur M ajoutée à MS.
Si a est
l’altitude de S et m, celle de M, alors :
a = m +
MS
Or, MS = AS . cos
α,
α
étant la mesure de l’angle aigu au sommet S dans le triangle rectangle (AMS).
Donc
α
= 90°– 80° = 10° et MS = AS . cos 10° = 4,41 . cos 10° m
La
calculatrice donne :
cos 10°
= 0,98480775301220805936674302458952
Comme il
faut prendre cos 10° à un centième près par défaut, alors on a :
cos 10°
= 0,98
Finalement
a = m + MS = 653,45 m + 4,32 m
= 657,77 m.
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 1ère partie
Remplacer :
26
¸ 24
= 26 / 24
=
(2
´ 2
´
2 ´ 2
´ 2
´
2) / (2 ´
2 ´ 2
´ 2) = 64/ 16 = 4
= 22
= 26 – 4
Par :
Remplacer :
ap / aq
= ap - q
Par :
Remplacer :
3,57
¸ 3,54 =
3,57
/ 3,54
= 3,57 – 4
= 3,53
(– 5)4
/ (– 5)3
= (– 5)4 – 3
= (– 5)1 = – 5
87 / 87
= 87 – 7
= 80 = 1
Par :
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 2ème partie
Remplacer :
– 1/22
Par :
Remplacer :
(– 1/2)2
Par :
Remplacer :
– 1/22
= – 12/22
= – 1/4
Par :
Remplacer :
(– 1/2)2
= + 12/22
= + ¼
Par :
Remplacer :
3,56 /
3,56
Par :
Remplacer :
49 ¸
47 = 49 /
47 = 49 – 7
= 42
Par :
Remplacer :
3,56 /
3,56
= 3,56 – 6
= 3,50 = 1
Par :
Remplacer :
(32 ´
37)
¸
(35
´
33) = (32 + 7)
/ (35 + 3) = 39 / 38 = 39 – 8 =
31 = 3
Par :
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 4ème partie
Remplacer :
(–1/2xy3z2)4
Par :
Remplacer :
(–1/2xy3z2)4
= (– 1/2)4
´ x1
´ 4
´ y3
´
4 ´ z2
´ 4 = (14
/ 24)
´ x4
´ y12
´
z8 =
(1/16) x4 y12 z8
Par :
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 5ème partie
Remplacer :
(–2x2y4z3)3
/ (1/2xy3z2)4
(a2b3)4
/ (3a4b3)2
(–3x3y2z4)3
/ (–6xy2z3)2
Par :
Remplacer :
(–2x2y4z3)3
/ (1/2xy3z2)4 = [(– 2)3
´
x2
´
3 ´
y4
´
3 ´ z3
´ 3 ] /
[(1/2)4
´
x1
´
4 ´
y3
´
4 ´ z2
´ 4 ] =
[– 8
´
x6
´
y12
´
z9 ] / [1/16
´
x4
´
y12
´
z8 ]
Par :
Remplacer :
(– 8) / (1/16) =
(– 8) ´
(16/1) = (– 8)
´
(16) = – 128
Par :
Remplacer :
(–2x2y4z3)3
/ (1/2xy3z2)4 = – 128x2 z
Par :
Remplacer :
(a2b3)4 / (3a4b3)2
= [a2
´
4 ´
b3
´
4 ] /
[(3)2
´
a4
´
2 ´
b3
´
2 ] =
[a8
´
b12 ] / [(3)2
´
a8
´
b6 ]
Par :
Remplacer :
(1/9) ´
a8 – 8
´
b12 – 6 = (1/9)
´
a0
´
b6 = (1/9)
´
1
´
b6 = (1/9)b6
Par :
Remplacer :
(a2b3)4
/ (3a4b3)2 = (1/9)b6
Par :
Remplacer :
(–3x3y2z4)3 / (–6xy2z3)2
=
[(– 3)3
´
x3
´
3 ´
y2
´
3 ´
z4
´
3 ] /
[(–6)2
´
x1
´
2 ´
y2
´
2 ´
z3
´
2 ] =
[(– 27)
´
x9
´
y6
´
z12 ] / [(+36)
´
x2
´
y4
´
z6 ]
Par :
Remplacer :
On simplifie
d’abord la fraction (– 27) / (+36).
Par :
Remplacer :
– (33
´
1) / (22
´
32
´
1) = – (33) / (22
´
32) = – (33 – 2 ) / (22) = – (31 ) /
(22) = – 3/ 4
Par :
Remplacer :
[(– 27)
´
x9
´
y6
´
z12 ] / [(+36)
´
x2
´
y4
´
z6 ] = (– 3/ 4)
´
x9 – 2 ´
y6 – 4 ´
z12 – 6 =
(– 3/ 4)
´
x7
´
y2
´
z6 = (– 3/ 4)x7 y2 z6
Par :
Remplacer :
(–3x3y2z4)3
/ (–6xy2z3)2 = (– 3/ 4)x7 y2
z6
Par :
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 6ème partie
Remplacer :
216 a4b3
/ 36 a2b
2700 xy3 / 60 y
37044 x3y2z4
/ – 882 xy2z3
Par :
Puissances d'un nombre - Opérations sur les
puissances - 7ème partie
Remplacer :
ap
/ aq = ap – q
Par :
Remplacer :
a p
/ a q = a p – q
Par :
Remplacer :
a p / a
q = a p – q = 1 / a
q – p
Par :
Remplacer :
2 + 5
/ 2 + 3 = 2 +5 – (+3) = 2
+2 = 2 2
5 + 3 / 5 + 5
= 5 +3 – (+5)
= 5 – 2 = 1 / 5 +2
= 1 / 5 2
10 – 3 / 10 –
5 = 10 – 3
–
(– 5) = 10– 3 + 5
= 10 +2 = 10 2
Par :
Remplacer :
1 / 2...
= 2 – 3
1 / 2 4 = 2…
1 / 10... = 10 –
2
1 / 10 = 10…
1 / 100 = 10…
Par :
Remplacer :
1 / 23 =
2– 3
1 / 24 =
2– 4
1 / 102 = 10– 2
1 / 10
= 1 / 101 = 10
– 1
1 / 100
= 1 / 102 = 10–
2
Par :
Remplacer :
0,1 = 1 / 10 = 1 / 101
= 10 – 1
0,001 = 1 / 1000 = 1 / 103
= 10 – 3
0, 0001
= 1 / 10000 = 1 / 104
= 10 – 4
0,14 = 14 / 100
= 14 ´
1 / 100 = 14
´
1 / 10 2
= 14
´ 10 – 2
0,153 = 153 / 1000 = 153
´ 1 / 1000 = 153
´ 1 / 10
3
= 153
´ 10 – 3
2,3 = 23 / 10 = 23
´ 1 / 10 = 23
´ 1 / 10
1
= 23
´
10 – 1
25,65 = 2565 / 100 = 2565
´ 1 / 100 = 2565
´ 1 / 10
2
= 2565
´ 10 – 2
100,001
= 100001 / 1000 = 100001
´
1 / 1000 = 100001
´
1 / 10 3
= 100001
´ 10 – 3
Par :
Remplacer :
10 – 2
= 1 / 10 2
= 1 / 100 = 0,01
10 – 3
= 1 / 10 3
= 1 / 1000 = 0,001
10 – 6
= 1 / 10 6
= 1 / 1000000 =
0,000001
4
´ 10 – 2
=
4
´
1 / 10 2
= 4
´ 1 / 100
= 4 / 100 = 0,04
15
´ 10 – 3
=
15
´
1 / 10 3
= 15
´ 1 / 1000
= 15 / 1000 = 0,015
1543
´ 10 – 6
=
1543
´
1 / 10 6
= 1543
´ 1 / 1000000
= 1543 / 1000000
= 0,001543
Par :
Remplacer :
2 – 1 = 1 / 2 +1 = 1 / 21 = 1 / 2
= 0,5
2 – 2 = 1 / 2 +2 = 1 / 22 = 1 / 4
= 0,25
25 – 2 = 1 / 25 +2 = 1 / 252 = 1 / 625
= 0,0016
4 – 1 = 1 / 4 +1 = 1 / 41 = 1 / 4
= 0,25
5 – 1 = 1 / 5 +1 = 1 / 51 = 1 / 5
= 0,2
Par :
Propriété des bissectrices intérieure et extérieure dans un
triangle
Dans un plan on te donne
deux points fixes A et B tels que AB = 7 cm .
Trouve l'ensemble des points M de ce plan tels que :
Solution
Je
retiens
Dans un triangle quelconque (ABC), on appelle
bissectrice extérieure au
sommet A, l’un quelconque
des angles, au sommet A, supplémentaires à
l’angle intérieur en A.
La bissectrice de l’angle intérieur en A sera nommée
bissectrice intérieure.
Ici, on a considéré le sommet A. Ces définitions restent vraies pour les deux
autres sommets B et C.
Les
bissectrices intérieure et extérieure au sommet A rencontrent la droite support
(BC) du côté opposé [BC]
respectivement en deux points M et N tels que MB et MC, NB et NC, d’une part, AB
et AC, d’autre part,
sont dans la double égalité :
Cette propriété des bissectrices intérieure et extérieure
en un sommet d’un triangle est vraie quel que
soit
le sommet considéré.
Elle peut être facilement démontrée à l’aide du théorème de Thalès.
J’applique cette propriété
Soient [Mx) la bissectrice intérieure au sommet M du triangle (MAB) qui
rencontre le côté opposé [AB]
en E et [My) la bissectrice extérieure correspondante qui rencontre (AB) en F.
D’après la propriété énoncée ci-dessus, on a :
Or, EA + EB = AB = 7cm.
Deux cas sont à envisager :
k
< 1 ou k > 1
On a donc :
Or, FB – FA = AB = 7cm.
On a donc :
Or,
FA – FB = AB = 7cm.
Donc :
Ainsi, dans les deux cas, F est un point fixe.
Par ailleurs, on sait que
les deux bissectrices intérieure et extérieure [Mx) et [My) forment un angle
droit,
puisque les angles auxquels ils sont rattachés
sont deux angles adjacents supplémentaires.
Développement et Factorisation - 3ème partie
4- Factorisation d’une somme
Factoriser une somme consiste à la mettre sous la
forme d’un produit de facteurs.
La factorisation n’est donc que
l’opération inverse du développement.
Exemples :
On demande de factoriser :
xy + x
On écrit :
xy + x = x(y + 1)
On demande de factoriser :
15xy + 21
On écrit :
15xy + 21 = 3(5xy + 7)
Dans le premier exemple, l’élément
x est commun à chacun des termes de la somme.
C’est cet élément qui sera le premier facteur du
produit recherché.
Pour obtenir ce produit, on divise chaque terme de la
somme par l’élément commun
x
supposé différent de zéro;
on obtient :
Le résultat est donc :
Dans le second exemple, l’élément
3 est commun à chacun des termes de la somme ;
en effet, on a :
C’est cet élément qui sera le premier facteur du
produit recherché.
Pour obtenir ce produit, on divise chaque terme de la
somme par ce facteur
différent de zéro ;
on obtient :
Le résultat est donc :
3(5xy + 7)
On demande de factoriser la somme :
–5xy3z + 25x2y2z
– 125x2y3
On
cherche d’abord l’élément commun aux nombres connus 5, 25 et 125.
Il
doit être d’abord un
diviseur commun à ces trois
nombres ; ensuite il doit être le
plus grand
de ces
diviseurs communs.
L’ensemble
des diviseurs communs à 5, 25 et 125 est {1 ; 5}.
Le
plus grand élément de cet ensemble est donc 5.
La
méthode générale pour la recherche du
plus grand diviseur commun
de plusieurs
nombres
est exposée dans les exercices.
Ensuite, on cherche l’élément
commun
aux variables xy3z, x2y2z
et x2y3.
Les seuls éléments communs à ces trois
variables sont x et y ;
z n’est pas commun, car il ne se
trouve pas dans x2y3.
Pour l’élément x, on prendra sa
plus petite puissance, donc
x.
Pour l’élément y, on prendra sa
plus petite puissance,
donc y2.
Finalement, on prendra xy2.
Le premier facteur du produit
recherché est donc :
5xy2
Pour obtenir ce produit, on divise chaque terme de la
somme par ce premier facteur
supposé
différent de zéro ; on obtient :
Le résultat est donc :
–5xy3z + 25x2y2z –
125x2y3 = 5xy2(–yz + 5xz – 25xy)
On demande de factoriser
l’expression :
9x2 – 25
Le seul diviseur commun à 9 et 25
est 1 qui ne change rien à l’expression.
Par ailleurs, x n’est pas commun à
25.
Cependant, on remarque que cette somme est la
différence de deux carrés ; donc elle est de la forme :
a2 – b2, avec a = 3x et b
= 5.
L’identité remarquable a2 – b2
=(a + b)(a – b) permet donc d’écrire :
9x2 – 25 = (3x + 5)(3x – 5)
Une méthode de factorisation
a-
On cherche le plus grand
diviseur commun aux nombres
connus renfermés dans les termes
de la somme donnée
b-
Ensuite on prend, pour
chaque élément variable
commun à tous les termes
de la somme, sa
plus petite puissance
c-
On en déduit ainsi, le
premier facteur du produit recherché
d-
Pour obtenir ce produit, on divise
chaque terme de la somme donnée par
ce premier facteur trouvé
supposé différent de zéro
e-
Si le plus grand diviseur commun des nombres connus est
égal à 1 et si
aucun élément
variable n’est
commun à tous les termes, alors on vérifie si la somme à factoriser est de la
forme d’une identité
remarquable. Si c’est le cas,
on applique alors cette identité remarquable.
Exercices
1)
Supprime les parenthèses dans les expressions
suivantes :
– (3x – 5) ; – (1 – 5x – 5y) ; – 3(– 5x – 1/2) ;
– 2y(– 4x – 5)
Solution
– (3x – 5) =
(–1)(3x – 5) = (–1)(3x) – (–1)(5)
= –3x + 5
– (1 – 5x – 5y) =
(–1)(1 – 5x – 5y) =
(–1)(1) – (–1)(5x) – (–1)(5y) =
–1 + 5x + 5y
– 2y(– 4x – 5) =
(– 2y)(– 4x) – (– 2y)(5)
= 8yx + 10y
2)
Développe puis réduis :
A(x) = (x – 2)(3x + 5)
B(x) = (–5x – 2)(2x – 1)
C(x) = 2x(x + 2)(3x – 5)
D(a) = (a – 1)(– 5a + 2)
E(y) = – (y – 3)(2y + 1)
F(z) = (z – 1)(– 2z + 3)
Solution
A(x) = (x – 2)(3x +
5) = (x – 2)(3x) + (x – 2)(5) =
x . (3x) – 2 . (3x) + x . (5) – 2 .
(5) =
3x2 – 6x + 5x – 10
– 6x et + 5x sont
semblables ; leur somme est – 1x = – x.
Finalement,
A(x) = 3x2 – x – 10.
Je te laisse développer B(x). Tu dois trouver :
B(x) = – 10x2 + x + 2
C(x) = 2x(x + 2)(3x
– 5) = ?
Ici, on a trois
facteurs ; on doit donc effectuer le développement en deux étapes :
1ère
étape : on développe 2x(x + 2)
2ème
étape : on développe le produit du résultat de la 1ère étape par (3x
– 5)
2x(x + 2) = (2x).x
+ (2x).2 = 2x2 + 4x
(2x2 +
4x) (3x – 5) = (2x2 + 4x).(3x) – (2x2 + 4x).(5) =
(2x2
).(3x) + (4x).(3x) – [(2x2 ).(5) + (4x).(5)] =
6x3 +
12x2 – [10x2 + 20x] = 6x3 + 12x2 –
10x2 – 20x
+ 12x2
et – 10x2 sont semblables ; leur somme est + 2x2.
Finalement,
C(x) = 6x3 + 2x2 – 20x.
Je te laisse développer les trois dernières
expressions.
Tu dois trouver :
D(a) = – 5a2 + 7a – 2
E(y) = – 2y2 + 5y + 3
F(z) = – 2z2 + 5z – 3
Développement et Factorisation - 1ère partie
1-
Définitions
Soit la somme :
a
+ b
Chacun des éléments a et b s’appelle
terme de la somme.
Dans la somme :
2ab + 5a2 – 4 = 2ab + 5a2 + (– 4)
Les éléments 2ab, 5a2 et (– 4) sont les termes de la somme.
Deux termes sont dits
semblables lorsque leurs parties littérales sont
identiques.
Exemples :
–5x2yz3 et 2x2yz3
ont même partie littérale égale à x2yz3.
Ils sont donc semblables.
–a2bc3 et +3a2bc2
ont leurs parties littérales a2bc3 et a2bc2
différentes.
Ils ne sont pas semblables.
Une somme de deux ou plusieurs termes semblables est
simplifiable.
Exemples :
–5x2yz3 + 2x2yz3 = –3x2yz3
Soit le produit :
Chacun des éléments c et d s’appelle
facteur du produit.
Dans le produit :
(a
+ 2b)(3a – c)
Chacun des éléments (a + 2b) et (3a – c) s’appelle
facteur du produit.
Les facteurs du produit : 2x(y – 3z)(x2 + 3y) sont 2x, (y – 3z) et (x2
+ 3y).
Les facteurs du produit : 2x2 y3z4 sont 2, x2,
y3, z4.
2-
Propriété de la multiplication par rapport à l’addition – Développement d’un
produit de facteurs
Soit le produit :
a(b + c)
Pour effectuer ce produit, on procède comme suit :
On
multiplie le facteur a par chacun des termes b et c de la somme
(b
+ c).
On
obtient : ab et ac.
On
additionne ensuite ces deux résultats partiels et on obtient : ab + ac.
Ainsi, a(b + c) = ab + ac
On
dit que l’on a, par la multiplication, distribué le facteur a à chacun
des termes de l’addition (b + c).
On énonce la propriété suivante :
la multiplication est distributive à gauche par rapport
à l’addition.
Le
groupe de mots « à gauche » signifie que le facteur a est à gauche du
facteur (b + c)
Soit le produit :
(x
+ y)z
Pour effectuer ce produit, on procède comme suit :
On
multiplie le facteur z par chacun des termes x et y de la somme
(x
+ y).
On
obtient : xz et yz.
On
additionne ensuite ces deux résultats partiels et on obtient : xz + yz.
Ainsi, (x + y)z = xz + yz
On
dit que l’on a, par la multiplication, distribué le facteur z à chacun
des termes de l’addition (x + y).
On énonce la propriété suivante :
la multiplication est distributive à droite par rapport
à l’addition.
Le
groupe de mots « à droite » signifie que le facteur z est à droite du
facteur (x + y)
Conclusion
Quels
que soient les nombres x, y et z
x(y +
z) = xy + xz
(x +
y)z = xz + yz
La
multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition.
On dit alors qu’elle est distributive par
rapport à l’addition.
Applications :
On demande d’effectuer les opérations suivantes :
2a(5a – 3)
xy(y – x)
5xy(x – y)
On a :
2a(5a – 3)
= 2a[5a + (– 3)] = 2a . 5a + 2a . (– 3) = 10a2 + (– 6a)
= 10a2 – 6a
xy(y – x)
= xy[y + (– x)] = xy . y + xy . (– x) = xy2 + (– x2 y)
= xy2 – x2 y
5xy(x – y)
= 5xy[x + (– y)] = 5xy . x + 5xy . (– y) = 5x2y + (– 5xy2
) = 5x2y
– 5xy2
Ces opérations sont appelées développements.
Développer un produit de
facteurs est l’opération qui consiste à l’écrire sous la forme d’une somme.
Par abus de langage, quelques uns disent que
le résultat de cette opération est
le développement du produit.
Par exemple, ils énoncent que le développement du produit 5xy(x – y) est
5x2y –
5xy2
.
Développement et Factorisation - 4ème partie
3)
Développe puis réduis l’expression suivante :
3(x2 – 2x) – (4x + 3)(5x – 3)
Solution
3(x2 – 2x) – (4x + 3)(5x – 3) =
3x2 – 6x – [(4x +
3).(5x) – (4x + 3).(3)] =
3x2 – 6x – [20x2
+ 15x – 12x – 9] =
3x2 – 6x – 20x2
– 15x + 12x + 9
3x2 et – 20x2 , d’une part, – 6x, –
15x et + 12x d’autre part, sont des termes semblables ;
leurs sommes sont : – 17x2 et –
9x.
Finalement,
3(x2 – 2x) – (4x + 3)(5x – 3) =
– 17x2 – 9x + 9.
4)
Développe les expressions suivantes en utilisant
une identité remarquable :
Solution
(a – 2b)2 est de la
forme (x – y)2 , avec x = a et y = 2b.
Or, on a l’identité remarquable :
(x – y)(x – y) = (x – y)2
= x2 – 2xy + y2
Il suffit donc de remplacer dans
cette identité, x par a et y par 2b ; on obtient :
(a – 2b)2
= a2 – 2(a)(2b) + (2b)2 =
a2 – 4ab + 4b2
(–3x + y)2
est de la forme (a + b)2 ,
avec a = –3x et b = y.
Or, on a l’identité remarquable :
(a + b)(a + b) = (a + b)2
= a2 + 2ab + b2
Il suffit donc de remplacer dans
cette identité, a par –3x et b par y ; on obtient :
(–3x + y)2
= (–3x)2 + 2(–3x)(y) + (y)2
= 9x2 – 6xy + y2
Or, on a l’identité remarquable :
(a + b)(a – b) = a2 – b2
5)
Développe les expressions suivantes :
A = – 2(x + 1) + (–x + 2)(x + 1) – 3x(x – 1)
D = – 3(3a + 1) – a(–a – 1)( –a – 1) – a(2a – 1) –
3a(a + 1)
Solution
A = – 2(x + 1) + (–x + 2)(x + 1) –
3x(x – 1) =
–2x – 2 + (–x + 2)(x) + (–x + 2)(1)
– 3x2 + 3x =
–2x – 2 + (–x2 + 2x) +
(–x + 2) – 3x2 + 3x =
–2x – 2 – x2 + 2x – x +
2 – 3x2 + 3x
–x2 et – 3x2 , – 2x, +2x, – x et +
3x, – 2 et + 2, sont des termes semblables ; leurs sommes sont :
– 4x2 , +2x et 0.
Finalement,
A = – 4x2 + 2x.
+2y2 , +4y2 ,
– 2y2 , d’une part, – y , – 4y , + y d’autre part, sont des termes
semblables ; leurs sommes sont :
+4y2 et – 4y.
Or, on a l’identité remarquable :
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Je te laisse développer D ; tu dois trouver :
D = –
a3 – 7a2 + 6a – 3
Développement et Factorisation - 5ème partie
6)
Factorise les expressions suivantes :
A
= –36xy3z + 216x2y2z – 36x2y3
+ 648x2y2
B
= 6ab3 + 16a2b2c – 36a2b3
+ 8a2b2c
C
= x2y3z + x2y2z – x2y3
+ x2y2z4
D
= –66xy3z + 121x2y2z
Solution
Factorisation de A
On
cherche d’abord le plus grand diviseur commun de 36, 216 et 648.
La division de 36 par le premier nombre premier,
2, différent de 1, donne
pour quotient 18.
La division de 18 par 2
donne pour quotient 9.
La division de 9 par le second nombre premier,
3, différent de 1,
donne pour quotient 3.
La division de 3 par 3
donne pour quotient 1.
On
écrit :
36
= 1.22.32
La division de 216 par le premier nombre premier,
2, différent de 1, donne
pour quotient 108.
La division de 108 par 2
donne pour quotient 54.
La division de 54 par 2
donne pour quotient 27.
La division de 27 par le second nombre premier,
3, différent de 1,
donne pour quotient 9.
La division de 9 par 3
donne pour quotient 3.
La division de 3 par 3
donne pour quotient 1.
On
écrit :
216 = 1.23.33
La division de 648 par le premier nombre premier,
2, différent de 1, donne
pour quotient 324.
La division de 324 par 2
donne pour quotient 162.
La division de 162 par 2
donne pour quotient 81.
La division de 81 par le second nombre premier,
3, différent de 1,
donne pour quotient 27.
La division de 27 par 3
donne pour quotient 9.
La division de 9 par 3
donne pour quotient 3.
La division de 3 par 3
donne pour quotient 1.
On
écrit :
648 = 1.23.34
Ainsi, on obtient :
36
= 1 . 22 . 32
216 = 1 . 23 . 33
648 = 1 . 23 . 34
On
prend uniquement les facteurs communs ; ici, tous, 1, 2 et 3.
Ensuite, par rapport à chaque facteur commun, on prend sa plus petite
puissance :
Pour 1, c’est
1
Pour 2, c’est
22
Pour 3, c’est
32
Le
plus grand diviseur commun de 36, 215, 648 est donc le produit :
1 . 22 . 32 = 4 . 9
= 36.
On
cherche ensuite les éléments communs parmi les éléments x, y et z.
x
et y le sont, alors que z ne l’est pas.
On prend la plus petite puissance de x : x1 =
x.
On prend la plus petite puissance de y :
y2.
Le
premier facteur du produit recherché est donc :
36xy2
Pour obtenir le produit recherché, on divise chaque terme de la somme donnée par
ce premier facteur, supposé
différent de zéro.
On obtient :
On
obtient finalement :
A =
36xy2(– yz + 6xz – xy + 18x)
Factorisation de B
On
cherche d’abord le plus grand diviseur commun de 6, 16, 36 et 8.
6
= 1 . 2 . 3
16
= 1 . 24
36
= 1 . 4 . 9 = 1 . 22 . 32
8
= 1 . 23
Le
plus grand diviseur commun de 6, 16, 36 et 8 est donc :
2
On
cherche ensuite les éléments communs parmi les éléments a, b et c.
a
et b le sont, alors que c ne l’est pas.
On prend la plus petite puissance de a : a1 =
a.
On prend la plus petite puissance de b :
b2.
Le
premier facteur du produit recherché est donc :
2ab2
Pour obtenir le produit recherché, on divise chaque terme de la somme donnée par
ce premier facteur, supposé
différent de zéro.
On obtient :
On
obtient finalement :
B =
(2ab2)(3b + 8ac – 18ab + 4ac)
Je
te laisse factoriser C et D ; tu dois trouver :
C = x2y2(yz
+ z – y + z4)
D =
11xy2z(– 6y + 11x)
7)
Factorise les expressions suivantes :
M
= a – b – a2 + 2ab – b2
N
= 25x2 – 121y2
P
= 9a2 – 81b6
Q
= 4x2 + 4x + 1
Solution
Factorisation de M
Il
n’y a aucun élément commun aux termes de M.
Il
reste à vérifier si une identité remarquable peut ici être utilisée.
En
effet, en introduisant des parenthèses, on obtient :
M = (a – b) – (a2
– 2ab
+ b2)
Ainsi, on a fait apparaître une expression : a2 – 2ab + b2
qui est donc identique à (a – b)2.
M
= (a – b) – (a – b)2
Le
premier facteur du produit recherché est donc :
(a –
b)
C’est le seul ; donc, pour obtenir le produit recherché, on divise chaque terme
de la somme donnée par ce facteur
supposé
différent
de zéro.
Ainsi, on a la condition :
(a – b) différente de zéro ou a différent de b
Cette condition posée,
on obtient :
Finalement :
M
= (a – b)[1 – (a – b)] = (a – b)(1 – a + b)
Je
te laisse factoriser N, P et Q ; tu dois trouver :
N =
(5x + 11y)(5x – 11y)
P =
(3a + 9b3)(3a – 9 b3)
Q =
(2x + 1)(2x + 1) = (2x + 1)2
8)
Factorise les numérateurs et les dénominateurs des fractions suivantes, puis
simplifie s’il y a lieu :
Solution
Le
numérateur (49a2 – 169b2) de la première fraction est de
la forme x2 – y2 , avec x = 7a et y = 13b.
Or, on a l’identité remarquable x2 – y2 = (x + y)(x – y).
Il
suffit donc de remplacer dans cette identité, x par 7a et y par 13b ; on
obtient :
49a2 – 169b2 = (7a + 13b)(7a – 13b)
La
fraction s’écrit donc :
On
peut ainsi simplifier par (7a – 13b) à condition que cette quantité soit
différente de zéro, c’est-à-dire :
Dans ce cas, on obtient :
Je
te laisse poursuivre ; tu dois trouver pour la seconde fraction :
Remarque très importante :
Il ne
faut jamais oublier
de poser la condition qui te permet de
simplifier.
Constructions
géométriques et proportionnalité
1- Construis un triangle (MNP) tel que MN = 8 cm et tel que le cercle qui lui
est inscrit ait pour rayon 2 cm.
2- Construis un trapèze (LMNP) dont les bases sont [LM] et [NP] et tel que LM =
LP = 4 cm et NP = 7 cm.
Les droites (LP) et (MN) se coupent en O . On pose OL = y.
Calcule y.
Solution
1-
Je
trace d'abord, avec ma règle graduée, le segment [MN] dont la longueur est 8 cm.
D'un
point I quelconque appartenant à ce segment, j'élève la droite d perpendiculaire
à (MN),
puis avec ma règle graduée, je marque le point H sur d tel que IH = 2 cm.
Je
trace avec mon compas le cercle C de centre H et de rayon HI.
Des
points M et N, je trace les deux tangentes [Mx) et [Ny) à C.
Ces
deux tangentes se rencontrent au point P.
Le
triangle (MNP) est celui recherché.
2-
Avec
mon compas je trace le cercle E de centre L et de rayon 4 cm.
Je
marque sur ce cercle un point quelconque M et je trace le segment [LM].
Du
centre L, je mène un rayon quelconque qui rencontre le cercle au point P.
J'ai bien LM = LP = 4 cm.
Du
point P, avec mon compas ou ma règle et mon équerre, je construis la droite (xy)
parallèle à (LM).
Du
point P et avec une ouverture de compas égale à 7 cm, je marque sur cette
parallèle
le point N. Ainsi NP = PN = 7 cm.
Le
trapèze recherché est (LMNP).
(LP)
et (MN) se coupent en O.
Dans
le triangle (OPN), le support de [LM] est parallèle au côté [PN].
Or,
je sais que si une droite est parallèle à un côté d'un
triangle, alors elle coupe les deux
autres côtés en formant avec eux des segments tels que, pris dans un ordre, ont
leurs
longueurs proportionnelles.
Donc, dans le triangle (OPN), j'obtiens :
Or, OP = OL + LP = y +
LP.
En
remplaçant dans (1), OP par son égale (y + LP), j'obtiens :
Dans
une proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes
extrêmes;
donc :
POUR LA TROISIÈME
3, 4, 5...Pythagore - 1ère Partie
Je le démontre et je retiens
Je
considère un triangle rectangle quelconque (ABC), rectangle au sommet A.
Son hypoténuse est [BC].
Il
s’agit de démontrer que l’on a :
BC2
= AB2 + AC2
J’abaisse de A la hauteur [AH] relative à l’hypoténuse.
De A et avec une ouverture de compas égale à la
longueur BH, je repère le point F sur [AB] ;
donc AF = BH.
Du point F, je
mène la droite (D) parallèle à (BC) et qui rencontre [AC] au point G.
Je sais que les droites parallèles (FG) et (BC)
définissent sur les droites sécantes (AB) et (AC)
des segments tels que leurs longueurs, prises dans un ordre donné, sont dans une
proportion ;
j’ai donc :
Par ailleurs, les triangles rectangles (AFG) et
(HBA) ont leurs côtés [AF] et [BH] ayant même longueur,
leurs angles en A et H droits et leurs angles aigus en F et B qui sont des
angles correspondants de
même mesure car (FG) et (BC) sont parallèles.
Ces deux triangles, ayant ainsi un côté de
longueur égale compris entre deux angles intérieurs deux
à deux de même mesure, sont isométriques.
Par conséquent tous leurs éléments homologues le
sont aussi et en particulier :
AG = AH et
FG = AB.
Je remplace dans
la double proportion (1), AG par AH, FG par AB et AF par BH ;
j’obtiens ainsi :
Dans la première proportion, en faisant le
produit des termes moyens et des termes extrêmes,
j’obtiens :
De A et avec une ouverture de compas égale à la
longueur AH, je repère le point K sur [AB] ;
donc AK = AH.
Du point K, je mène la droite (D’) parallèle à
(BC) et qui rencontre [AC] au point L.
Je sais que les droites parallèles (KL) et (BC)
définissent sur les droites sécantes (AB) et (AC)
des segments tels que leurs longueurs, prises dans un ordre donné, sont dans une
proportion ;
j’ai donc :
Par ailleurs, les triangles rectangles
(AKL) et (HAC) ont leurs côtés [AK] et [AH] ayant même longueur,
leurs angles en A et H droits et leurs angles aigus en L et C qui sont des
angles correspondants de
même mesure car (KL) et (BC) sont parallèles.
Ces deux triangles
rectangles, ayant ainsi un côté de l’angle droit de longueur égale et un
angle aigu de
mesure égale, sont isométriques.
Par conséquent tous leurs éléments homologues le
sont aussi et en particulier :
AC = KL et HC = AL.
Je remplace dans la double proportion (1’), KL
par AC, AL par HC et AK par AH ;
j’obtiens ainsi :
J’ai
donc:
En faisant le produit des termes moyens et des
termes extrêmes, j’obtiens :
J’additionne
membre à membre les deux égalités (2) et (2’) ; j’obtiens :
Or, BH + HC = BC.
Donc, finalement :
Ainsi le théorème est démontré.
3, 4, 5...Pythagore - 3ème Partie
Application de la réciproque
Soit le triangle dont les
longueurs des côtés sont 3cm, 4cm et 5cm.
D’abord ce triangle existe puisque
les longueurs de ses côtés vérifient l’inégalité triangulaire ;
en effet, et par exemple :
5 – 3 < 4 < 5 + 3
Ensuite on a :
(52 = 25 et 32 + 42
= 9 + 16 = 25)
Þ
52 = 32 + 42
Les longueurs des côtés vérifiant ainsi la réciproque du
théorème de Pythagore, le triangle est un
triangle rectangle dont le sommet de son angle droit est celui opposé au côté de
longueur 5cm.
A quoi servent le théorème de
Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème de Pythagore sert souvent à calculer la
longueur d’un côté d’un triangle rectangle,
connaissant les longueurs des deux autres côtés.
Exemple :
Le triangle (ABC) est rectangle en
A.
On donne AB = 8m et AC = 12m.
On demande de calculer BC.
Le triangle (ABC) étant rectangle
en A, son hypoténuse est [BC].
Le théorème de Pythagore appliqué
à ce triangle donne :
BC2 = AB2 +
AC2
Or, AB = 8 donne AB2 =
82 = 64 et AC = 12 donne AC2 = 122 = 144.
Donc, on obtient :
BC2 = 64 + 144 = 208
Par conséquent, on a :
La valeur approchée par défaut de BC, à 0,01 près
est : 14,42m.
Il sert également à établir des relations métriques
dans un triangle rectangle.
On verra ces relations dans la
partie « Exercices ».
La réciproque du théorème de Pythagore sert à
démontrer qu’un triangle, dont les longueurs des
côtés étant données, est un triangle rectangle.
Exemple :
On donne un triangle (ABC) dont
les mesures des côtés sont AB = 7,8cm,
AC = 10,4cm et BC = 13cm.
(ABC) est-il un triangle
rectangle ?
Le côté de plus grande longueur
est [BC] ; donc, si (ABC) est un triangle rectangle, son hypoténuse
ne peut être que [BC].
On a :
BC2
= 132
= 169 et
AB2 + AC2
= 7,82 + 10,42 = 60,84 + 108,16 = 169
Donc, BC2 = AB2
+ AC2 ; par conséquent,
(ABC) vérifie la réciproque du théorème de
Pythagore ;
comme [BC] est l’hypoténuse, il est rectangle en A.
3, 4, 5...Pythagore - 4ème Partie
Je m’exerce
1)
On
donne un triangle équilatéral (ABC) de longueur commune de ses côté égale à a.
On
sait que ses trois hauteurs ont même longueur h. Calcule alors h en fonction de
a.
Application numérique : a = 12cm ; trouve h.
Solution
Soit [AH] la hauteur relative au côté [BC].
On sait que dans un triangle équilatéral, toute hauteur est
simultanément médiane et
médiatrice du côté correspondant.
Le théorème de Pythagore appliqué à l’un des triangles
rectangles (AHB) ou (AHC),
par exemple à (AHB), donne :
AB2 = AH2 + HB2
On
obtient donc :
Comme dans un triangle équilatéral toutes les hauteurs ont même
longueur h, donc :
Application numérique :
2)
AB =
16,9cm, AC = 11cm et BC = 13,1cm.
Le
triangle (ABC) est-il rectangle ?
Solution
Le côté de plus grande longueur est [AB] ; donc si (ABC) est un
triangle rectangle, alors son
hypoténuse ne peut être que [AB].
On a :
16,92 = 285,61
Ainsi, 292,61 est différent de 285,61, ou encore :
(ABC)
n’est donc pas un triangle rectangle.
3)
Calcule la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle dont la
longueur commune
des côtés de son angle droit est égale à 3cm.
Solution
Soit(ABC) ce triangle rectangle isocèle , rectangle en A. Son
hypoténuse est par conséquent [BC].
On a donc :
AB = AC = 3cm
Le théorème de Pythagore appliqué à (ABC) donne :
BC2
= AB2 + AC2 = 32 + 32 = 9 + 9
= 18
Ainsi :
4)
Calcule la longueur de la hauteur relative à la base d’un triangle isocèle
sachant que celle
de cette base est égale à 3cm et que la longueur commune des deux autres côtés
est égale à 6cm.
Solution
Soit (ABC) ce triangle isocèle au sommet A. Sa base est donc
[BC] et on a :
BC = 3cm et AB = AC = 6cm
Soit [AH] la hauteur relative à [BC].
On sait que dans un triangle isocèle, la hauteur relative à sa
base est simultanément médiane et
médiatrice de cette base.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle (AHB)
donne :
AB2 = AH2 + HB2
Donc :
3, 4, 5...Pythagore - 5ème Partie
5)
Calcule la longueur commune
des diagonales d’un rectangle dont la longueur mesure
12cm et celle de sa largeur, 8cm.
Solution
Soit (ABCD) ce rectangle, avec AB
= 8cm et BC = 12cm.
On sait que dans un rectangle, les
diagonales ont même longueur.
Ainsi, AC = BD.
Le théorème de Pythagore appliqué
au triangle rectangle (ABC) donne :
AC2
= AB2 + BC2
Or, AB = 8cm et
BC = 12cm.
Donc,
on obtient :
6)
On donne un triangle (ABC)
rectangle en A.
Soit [AH] la hauteur
relative à l’hypoténuse [BC].
Démontre que l’on a :
Solution
(ABC) étant un triangle rectangle
en A, le théorème de Pythagore donne :
pour (ABC), BC2 = AB2
+ AC2 (1)
pour le triangle (AHB) rectangle
en H, AB2 = AH2 + HB2
pour le triangle (AHC) rectangle
en H, AC2 = AH2 + HC2
En remplaçant dans (1), AB2 et
AC2 par leurs égaux respectifs,
AH2 + HB2 et
AH2 + HC2 , on obtient :
Or, BC = HB + HC donne, en
utilisant l'égalité remarquable,
(X + Y)2 = (X + Y) (X +
Y) = X2 + 2XY + Y2 :
Après simplification :
Cette première relation métrique
dans un triangle rectangle s’énonce comme suit :
Dans
un triangle rectangle, la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est
moyenne
proportionnelle aux longueurs des projetées orthogonales des deux côtés de
l’angle droit
sur l’hypoténuse.
Dans le triangle (AHB) rectangle
en H, AB2 = AH2 + HB2
En remplaçant dans cette égalité
AH2 par son égal trouvé précédemment, on obtient :
Or, HB + HC = BC.
Donc :
Dans le triangle (AHC) rectangle
en H, AC2 = AH2 + HC2
En remplaçant dans cette égalité
AH2 par son égal trouvé précédemment, on obtient :
Or, HB + HC = BC.
Donc :
Ces deux relations métriques dans
un triangle rectangle s’énoncent comme suit :
Dans
un triangle rectangle, la longueur de chaque côté de l’angle droit est moyenne
proportionnelle à la longueur de l’hypoténuse et à celle de sa projetée
orthogonale
sur l’hypoténuse.
Or, on a établi que :
Ces deux relations impliquent
que :
Or, on a :
BC2 = AB2 +
AC2
Par conséquent, on obtient :
Après simplification par AB2
et AC2 quantités non nulles :
Cette relation métrique dans un
triangle rectangle s’énonce comme suit :
Dans
un triangle rectangle, l’inverse du carré de la longueur de la hauteur relative
à
l’hypoténuse est égal à la somme des inverses des carrés des longueurs des deux
côtés
de l’angle droit.
Remarque : une relation
métrique évidente
Soit (ABC) un triangle rectangle
en A.
Soit [AH] la hauteur relative à
l’hypoténuse [BC].
L’aire de la surface de (ABC) est
égale simultanément à :
Donc :
Cette dernière relation métrique
dans un triangle rectangle s’énonce comme suit :
Dans
un triangle rectangle, le produit de la longueur de la hauteur relative à
l’hypoténuse
par celle de l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des deux côtés de
l’angle droit.
7)
Une application directe des
relations métriques dans un triangle rectangle
On donne un triangle
rectangle (ABC), rectangle en A.
Les longueurs de ses côtés
sont :
AB = c, AC = b et BC = a
Soit [AH] la hauteur
relative à l’hypoténuse [BC].
Calcule, AH, BH et HC, en
fonction de a, b et c.
Solution
Dans un triangle rectangle, le
produit de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse par
celle de l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des deux côtés de
l’angle droit.
Donc,
Dans un triangle rectangle, la
longueur de chaque côté de l’angle droit est moyenne
proportionnelle à la longueur de l’hypoténuse et à celle de sa projetée
orthogonale
sur l’hypoténuse.
Donc,
Par ailleurs, on a :
Or, le théorème de Pythagore
appliqué à (ABC) donne :
Donc :
Equations –
Systèmes d’équations
1ère partie
Remplacer
5 ; 3 x 4 ; (1/2) x (2a + b) x (3c
– d) sont des expressions algébriques.
Par
Remplacer
5x – (1/2) ; x3
– 5x2 + (3/7)x ; [(2x – 5)/(3y – 4)] – (1/2)x + 3y – z sont des
expressions algébriques.
Par
Remplacer
–5 = –5 x 1 ; (–3/2)xyz ; –2ab2c ;
(–1/2)x2y3z sont des monômes.
Par
Remplacer
a
+ 5b ;
(–3/7)x2yz3
+ xz2 ;
–1/[x rac(2)] +
y2 sont des binômes.
Par
Remplacer
ax5 – bx4 +
cx3 – dx2 + (e/f)x – k est un polynôme.
[rac(3)/2]x4 + 4x3
– x + 1 est un polynôme.
Par
Remplacer
Le polynôme 3a3 –
(1/2)a2 + 5a est identique au produit :
a[3a2 – (1/2)a + 5]
Par
Remplacer
On dit alors que l’on
a factorisé le polynôme 3a3 – (1/2)a2 + 5a en un
produit de deux facteurs
« a » et « 3a2
– (1/2)a + 5 »
Par
Remplacer
6 /
(–2) =
(5 + 1) / (–2) = –3
Par
2ème partie
Remplacer
1,5 est un nombre rationnel car la
fraction 3 / 2 lui est égale.
Par
Remplacer
– 4, 3333…. est un nombre rationnel car la fraction – 13/3 lui est égale.
Par
Remplacer
rac(2) n’est pas
rationnel car aucune
fraction de type a / b, avec a entier (naturel ou relatif) et b entier (naturel
ou relatif) non nul, lui est égale.
Par
Remplacer
On dit que rac(2) est un
nombre irrationnel.
Par
3ème partie
Remplacer
Développons [2x + (3y)/2]2.
Par
Remplacer
[2x + (3y)/2]2 est de
la forme (a + b)2, avec a = 2x et b = (3y) / 2.
Par
Remplacer
Donc
[2x + (3y)/2]2
=
(2x)2 + 2(2x)(3y)/2+
(3y/2)2 = 4x2
+ 6xy + 9y2/4.
Par
Remplacer
Développons (y/2 + z/3)(y/2 –
z/3).
Par
Remplacer
(y/2 + z/3)(y/2 – z/3) est de la
forme (a + b)(a – b), avec a = y/2 et
b = z/3.
Par
Remplacer
Donc
(y/2 + z/3)(y/2 – z/3)
= (y/2)2 – (z/3)2
= y2/4 – z2/9.
Par
Remplacer
Développons
(y/2 + z2/3)(y2/4 – yz2/6 + z4/9).
Par
Remplacer
(y/2 + z2/3)(y2/4
– yz2/6 + z4/9) est de la forme :
(a + b)(a2 – ab + b2), avec a = y/2 et b = z2/3.
Par
Remplacer
Donc
(y/2 + z2/3)(y2/4
– yz2/6 + z4/9)
= (y/2)3 + (z2/3)3
=
y3/8 + z6/27.
Par
4ème partie
Remplacer
« xy – 1/2 = 3 »
est une équation qui comporte deux quantités inconnues x et y.
On dira que « xy – 1/2 = 3 » est
une équation à deux inconnues x et y.
Par
Remplacer
« z2
– 1/9 = 0 » est une équation qui ne comporte qu’une quantité inconnue : z.
On dira que « z2 – 1/9 = 0 » est
une équation à une inconnue en z.
Cette équation admet deux
solutions ou racines
dans l’ensemble des nombres rationnels :
+ 1/3 et
– 1/3.
L’ensemble de ses racines se note donc :
{+1/3 ; – 1/3}
Par
Remplacer
Dans l’équation « (1/3)y2 – 1 = 5 », le plus grand exposant de l’inconnue y est
2. L’équation est donc
à une inconnue, y et est du second degré par rapport à cette inconnue.
Dans l’équation « (1/5)t – 2 = 1/6 » ou encore «(1/5)t1 – 2 = 1/6 , le plus grand exposant de l’inconnue t est
1. L’équation est donc
à une inconnue, t et est du premier degré par rapport à cette
inconnue.
Par
Remplacer
ax / a = (– b) / a ou
x = – b / a
Par
Remplacer
{- b / a}
Par
Remplacer
(a différent de
0) implique que l’équation « ax + b = 0 » admet une seule solution : (–
b / a) dans l’ensemble des nombres réels.
Par
Remplacer
3x / 3 = + 5 / 3
ou x = + 5/3
L’ensemble des solutions de l’équation donnée est donc {+ 5/3}.
Par
Remplacer
(m – 2)y – 1/2
= 2, l’inconnue étant y et m étant un nombre réel quelconque.
Par
Remplacer
(m – 2)y – 1/2 = 2 ou (m – 2)y –
1/2 + opp(– 1/2) = 2 + opp(– 1/2)
Or, – 1/2 + opp(– 1/2) = 0
Donc, (m – 2)y = 2 + opp(– 1/2) = 2 + 1/2 = 5/2
Par
Remplacer
(m – 2)y / (m – 2) = (5/2) / (m –
2) ou y = 5 / [2(m – 2)]
Conclusion :
Quel que soit le nombre réel m
différent de 2, l’ensemble des solutions réelles de cette équation est :
{5 / [2(m – 2)]}
Par
Remplacer
3x + 2 = 0 ou 3x
+ 2 + opp(+ 2) = 0 + opp(+ 2) ou 3x = – 2 ou
3x / 3 = (– 2) / 3 ou x = – 2/3
Par
Remplacer
–x + 3 = 0 ou –x
+ 3 + opp(+ 3) = 0 + opp(+ 3) ou –x = – 3 ou
–x / (– 1) = – 3 / (– 1) ou x =
+ 3
Par
Remplacer
{– 2/3 ; 0 ; +1 ;
+ 3}.
Par
Remplacer
a2 –
2ab, avec a = x et b = 7/2
Par
Remplacer
x2 –
7x = (x – 7/2)2 – (7/2)2 = (x – 7/2)2 – 49/4
Par
Remplacer
(x –
7/2)2 – 49/4, on obtient :
(x – 7/2)2 – 49/4 + 12 = 0 ou
(x – 7/2)2 – 49/4 + 48/4 = 0 ou (x – 7/2)2 – 1/4 = 0
Or, (x – 7/2)2 – 1/4 est de la forme a2 – b2 =
(a + b)(a – b), avec
a = (x – 7/2) et b = 1/2.
Donc,
(x – 7/2)2 – 1/4 = 0 ou [(x – 7/2) + 1/2][ (x – 7/2) – 1/2] =
0 ou
(x – 6/2)(x – 8/2) = 0 ou (x – 3)(x – 4) = 0
Par
5ème partie
Remplacer
AM / AB = MN / BC ou x / 5 = MN /
8 ou 8x = 5MN ou 5MN/5 = 8x/5 ou
MN = 8x / 5
Par
Remplacer
Or, MN = 8x/5 et MB = AB – AM = 5
– x.
Par
Remplacer
P = 2( 8x/5 + 5 – x) = (16x)/5 – 2x + 10 =
(16x – 10x)/5 + 10
= (6x)/5 + 10
x parcourant [0 cm , 5 cm], alors
P varie de [(6 x 0)/5 + 10] cm =
10 cm à [(6 x 5)/5 + 10] cm = 16
cm.
Par
Remplacer
2alg(MA) – alg(MB)
+ 3alg(MC) = 1
Par
Remplacer
2alg(MA) – alg(MB) + 3alg(MC) = 1
L’application de la relation de
Chasles donne :
alg(MA) = alg(OA) –
alg(OM) = xA – xM = + 2,5 – x
alg(MB) = alg(OB) – alg(OM) = xB – xM = – 3 – x
alg(MC) = alg(OC) – alg(OM) = xC – xM = – 1 – x
Par
6ème partie
Remplacer
XM désignant la
mesure algébrique alg(AM).
Par
Remplacer
XN = alg(AB) + VN
. t,
XN désignant
la mesure algébrique alg(AN).
Par
Remplacer
+170t = +350 ou
t = + 350 / 170 heures = 35 / 17 heures
Par
Remplacer
alg(BM) = alg(AM) –
alg(AB) ou alg(BM) = VM . t – alg(AB) ou
alg(BM) = +80t – 350
Pour t = 35 / 17 h, on obtient :
alg(BM) = +80 . (35/17) – 350
= +(2800/17) – 350 =
(2800 – 5950) / 17 = – 185,294
Par
Remplacer
abs[alg(BM)] =
BM = 185,294 km
Par
Remplacer
On devrait
obtenir le même résultat si l’on avait pris alg(BN).
Par
Remplacer
alg(BN) = alg(AN) – alg(AB) ou alg(BN) = [VN . t + alg(AB)] – alg(AB)
ou
alg(BN) = VN . t = – 90t
Pour t = 35 / 17 h, on obtient :
alg(BN) = – 90 . (35/17) =
–3150/17 = –185,294
Par
Remplacer
a2 –
2ab, avec a = x et b = 7/2
Par
Remplacer
x2 – 7x = (x – 7/2)2
– (7/2)2 = (x – 7/2)2 – 49/4
En remplaçant dans l’équation donnée, x2 – 7x par son égale
(x –
7/2)2 – 49/4, on obtient :
(x – 7/2)2 – 49/4 + 12 = 0 ou
(x – 7/2)2 – 49/4 + 48/4 = 0 ou (x – 7/2)2 – 1/4 = 0
Or, (x – 7/2)2 – 1/4 est de la forme a2 – b2 =
(a + b)(a – b), avec
a = (x – 7/2) et b = 1/2.
Donc,
(x – 7/2)2 – 1/4 = 0 ou [(x – 7/2) + 1/2][ (x – 7/2) – 1/2] =
0 ou
(x – 6/2)(x – 8/2) = 0 ou (x – 3)(x – 4) = 0
Par
Remplacer
Donc, 3x – 15 = 0 ou 3x = 15 ou
x = 15/3 = 5.
Par
Remplacer
Donc, 5x – 15 = 0 ou 5x = 15 ou
x = 15/5 = 3.
Par
Remplacer
Donc, 15x – 15 = 0 ou 15x = 15 ou
x = 15/15 = 1.
Par
Remplacer
ax+by=c
a'x+b'y=c'
Par
Remplacer
2x + 3y = 0
–4x – (1/2)y = 1
Par
Remplacer
(1/4)u – 5v = 3
u + 2v = ½
Par
7ème partie
Remplacer
2x+y=3
x-y=1
Par
Remplacer
3 – 2x = x – 1 ou 3 – 2x + opp(x)
= x – 1 + opp(x) ou
3 – 2x + (–x) = x + opp(x) – 1 ou 3 – 3x = 0 – 1 = – 1 ou
3 – 3x + opp(3) = –1 + opp(3) ou 3 + opp(3) – 3x = –1 + (–3) = – 4 ou
0 – 3x = – 4 ou (–3x) / (–3) = (–4) / (–3) ou
x = 4 / 3
Par
Remplacer
Pour calculer y, il suffit de
remplacer dans (1) ou dans (2), x par 4 / 3.
Par exemple, on remplace dans (2), x par 4 / 3 et on obtient :
4/3 – y = 1 ou opp(4/3) + 4/3 – y = opp(4/3) + 1 ou 0 – y =
– 4/3
+ 1 = – 1/3 ou
(– y) . (–1) = (– 1/3) . (–1) ou
y = + 1 / 3
Ainsi, le système donné admet
une seule solution : le couple ( 4/3 ;
1/3).
Par
Ajouter
Ajouter
Remplacer
(2x + 5y) + (5x – 5y) = 3 + 5 ou
7x = 8 ou (7x) / 7 = 8 / 7 ou
x = 8 / 7
Par
Remplacer
Pour calculer y, il suffit de
remplacer dans (1’) ou dans (2’), x par
8 / 7.
Par exemple, on remplace dans (1’), x par 8 / 7 et on obtient :
2 . 8/7 + 5y = 3 ou 16/7 + 5y = 3 ou opp(16/7) + 16/7 + 5y =
opp(16/7) + 3 ou
5y = (–16/7) + 3 = (–16 + 21)/7 = 5/7 ou (5y) / 5 = (5/7) / 5 ou
y =
1 / 7
Ainsi, le système donné admet
une seule solution : le
couple ( 8/7 ; 1/7).
Par
Remplacer
2(1 + y) + 5y =
3 ou 2 + 2y + 5y = 3 ou 2 + 7y = 3 ou
opp(2) + 2 + 7y = opp(2) + 3 ou 7y = (–2) + 3 = + 1 ou (7y)/7 = 1/7 ou
y = 1 / 7
(2) donne
x = 1 + y = 1 + 1/7
= 8/7
On retrouve la même
solution : ( 8/7 ; 1/7).
Par
8ème partie
Remplacer
2x + 3y = 1
x – 4y = 3
Par
Remplacer
2x + 3y = 1
–2x + 8y = –6
Par
Remplacer
2x + 3y = 4
x – 4y = 1
Par
Remplacer
5x – 3y = 1
10x – 6y = 5
Par
Remplacer
x + 7y = 3
– 3x – 21y = – 9
Par
Remplacer
2x + 3y = 0
x – 2y = 1
Par
Remplacer
11y = –5 ou
y = –5/11
En remplaçant dans la première
équation, y par son égale –5/11, on calcule x :
2x + 3(–5/11) = 1 ou 2x –15/11 = 1
ou 2x = 1 + 15/11 = 26/11 ou
x = 26/22 ou
x = 13/11
Par
Remplacer
x = +19/11
y = +2/11
Par
Remplacer
+4 + 7y= 3 ou
opp(+4) + 4 + 7y = opp(+4) + 3 ou 0 + 7y = – 4 + 3 = –1 ou 7y = –1 ou (7y) / 7 =
(–1) / 7 ou y = – 1/7
Nous remarquons que (+ 4 ; – 1/7) est également une solution de la seconde
équation.
Donc (+ 4 ; – 1/7) est une
solution du système donné.
Par
Remplacer
–3x – 21= – 9 ou –3x – 21 + opp(–21)
= – 9 + opp(–21) ou
–3x = – 9 + (+21) ou –3x = + 12 ou
(–3x) / (–3) = (+ 12) / (–3) ou
x = – 4
Par
Remplacer
x = + 3/7
y = – 2/7
Par
9ème partie
Remplacer
x2
– y2
= a2
x + y = b
Par
Remplacer
x2 – y2 =
8
x + y = 4
Par
Remplacer
x – y = a2
/ b
Par
Remplacer
x + y = b
x – y = a2 / b
Par
Remplacer
2x = b + (a2)
/ b = (b2 + a2) / b ou
x = (a2 + b2) / 2b
Par
Remplacer
x + y = b ou
y = b – x = b – (a2 + b2) / 2b
=
[b.(2b) – (a2
+ b2)] / 2b = [2b2 – a2 – b2] / 2b
= (b2
– a2) / 2b
Par
Remplacer
4(x – y) = 8 ou
x – y = 8 / 4 = 2
Par
Remplacer
2x = 6 ou
x = 6/2 = 3
Par
Remplacer
x / m = y / n
ax + by = c
Par
Remplacer
mx = n y
ax + by = c
Par
Remplacer
2x = 5y
3x – 2y = 1
Par
Remplacer
x + y = 4
x – y = 2
Par
Remplacer
x / m = y / n = (ax)
/ (am) = (by) / (bn) = (ax + by) / (am + bn) =
c / (am + bn)
Ainsi, on a :
x / m = c / (am + bn) ou
x = (mc) / (am + bn)
y / n =
c / (am + bn) ou y
= (nc) / (am + bn)
Par
Remplacer
x / 2 = y / 3
4x + 5y = –1
Par
Remplacer
x / 2 = y / 3 = 4x / 8 = 5y / 15 =
(4x + 5y) / (8 + 15) =
(4x + 5y) / (23) = (–1) / 23 =
–1/23
Ainsi, x / 2 = –1/23 ou x =
–2/23
y / 3 = –1/23 ou y
= –3/23
Par
Remplacer
(mx) / m = (ny)
/ m ou x = (ny) / m
Par
Remplacer
a . (ny) / m + by = c ou (any) / m + by = c ou (any + bmy) / m = c ou
any + bmy = cm ou (an + bm)y = cm ou
y = (cm) / (an + bm)
Par
Remplacer
mx = n . (cm) / (an + bm)
Par
Remplacer
x = (cn) / (an + bm)
Par
Remplacer
2x = 5y implique
x = (5y)/2
Par
Remplacer
En remplaçant
dans la seconde équation x par son égale (5y)/2,
on obtient :
3 . (5y)/2 – 2y = 1 ou (15y)/2 – 2y = 1 ou (15y – 4y) / 2 = 1 ou
15y – 4y = 2 ou 11y = 2 ou y = 2
/ 11
2x = 5y = 5 . (2/11) = 10/11 ou
x = 5/11
Par
Inéquations
Inéquations - Deuxième partie
2-2-
Résolution d’une inéquation à une inconnue du premier degré
On te donne
l’expression F(x) = ax + b, avec a réel non nul quelconque et b réel quelconque.
On
te demande d’étudier le signe de F(x) en fonction de a.
D’abord on résout l’équation
F(x) = 0 qui admet
pour racine :
a étant non nul, on peut mettre, dans l’expression
de F(x), a, en facteur :
Premier cas : a > 0
1ère Conclusion
Deuxième cas :
a < 0
2ème Conclusion
Conclusion générale :
Inéquations - Troisième partie
Exemples :
On
demande de résoudre dans R l’inéquation :
Solution
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
On écrit d'abord cette inéquation sous la forme
:
Pour cela, il suffit d'ajouter aux deux membres la même quantité :
On
obtient :
On
pose :
3- Résolution d’inéquations se
ramenant à celle d’une inéquation à une inconnue, du premier
degré par rapport à
son inconnue
3-1- Inéquations de la forme :
(a1 x + b1) .
(a2
x + b2) . (a3
x + b3) …(
ak x + bk)
…
(
an x + bn)
R 0,
avec les ak, des coefficients réels non nuls
quelconques, les bk, des coefficients réels quelconques
et
R, un des symboles « £ »,
« ³ »,
« < », « > »
1) On étudie le signe
de chaque facteur Fk(x)
= ak x + bk dans R.
2) On
rassemble ensuite
les résultats dans un tableau
qui permet d’en déduire le signe de l’inéquation
donnée dans R.
Exemples
Résoudre dans R l’inéquation :
(x
+ 1)(x – 1) > 0
Solution
On
pose P(x) = (x + 1)(x – 1)
x + 1 = 0 pour x = –1
x
+ 1 > 0 pour x > –1
x
+ 1 < 0 pour x < –1
x
– 1 = 0 pour x = +1
x
– 1 > 0 pour x > +1
x
– 1 < 0 pour x < +1
Le
tableau :
x :
–1
+1 
x + 1 : –
0 +
+
x – 1 : –
–
0 +
P(x) : +
0 – 0 +
Dans
ce tableau, en « multipliant les signes », ceci par colonne, on obtient les
résultats suivants :
P(x)
= (x + 1)(x – 1) > 0
pour x < –1 ou x > +1 ;
P(x)
= (x + 1)(x – 1) < 0
pour –1 < x < +1.
Conclusion :
(x +
1)(x – 1) > 0 pour x < –1 ou x > +1
L’ensemble S des solutions de l’inéquation donnée est
Résoudre dans R l’inéquation :
(2x + 1)(x – 1)(3x – 1)
£
0
Solution
On
pose Q(x) = (2x + 1)(x – 1)(3x – 1)
Comme précédemment, on dresse le tableau
récapitulatif, puis en
« multipliant les signes »,
ceci par colonne, on obtient les résultats
suivants :
Conclusion :
L’ensemble S des solutions de l’inéquation donnée est :
Remarque
On
remarque que « le produit » des
signes,
par
colonne, est positif
si le nombre des signes (–)
est
pair,
négatif s’il
est impair, le
nombre des signes (+) ayant été ignoré.
Inéquations - Quatrième partie
3-2- Extension au quotient de la
méthode appliquée au produit - Inéquations de la forme :
avec b, d des coefficients réels quelconques, a, c des
coefficients réels non nuls
quelconques et R,
un des symboles « £ »,
« ³ »,
« < », « > »
D’abord, on devra indiquer les valeurs de x
inacceptables, du fait
qu’elles annulent le dénominateur.
Exemples
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
Le dénominateur (x – 1) doit être différent de 0 ; donc
x doit être différent de +1.
x + 1 = 0 pour x = –1
x
+ 1 > 0 pour x > –1
x
+ 1 < 0 pour x < –1
x
– 1 = 0 pour x = +1
x
– 1 > 0 pour x > +1
x
– 1 < 0 pour x < +1
Le
tableau :
x :
–1
+1 
x + 1 : –
0 +
+
x – 1 : –
–
0 +
Q(x) :
+
0 – ||
+
Dans
ce tableau, en « multipliant les signes », ceci par colonne, on obtient les
résultats suivants :
Conclusion :
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
On pose :
On
dresse ensuite le tableau récapitulatif , puis
en
« multipliant les signes », ceci par colonne,
on obtient les résultats
suivants :
Conclusion :
3-3- Inéquations de la forme :
avec a, un coefficient réel non nul quelconque, b
et c, des coefficients réels quelconques, R,
un des
symboles « £ »,
« ³ »,
« < », « > », ax2 + bx + c, un trinôme pouvant être
factorisé
1- On factorise
le polynôme ax2 + bx + c.
2- Ensuite, on applique la
méthode exposée précédemment.
Exemple
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
Enfin, en appliquant la méthode exposée précédemment, on trouve :
Inéquations - Cinquième partie
3-4- Inéquations
comportant les valeurs absolues de quelques termes
a étant un réel quelconque non nul, b étant un
réel quelconque et c étant un réel strictement positif,
R,
un des symboles : « £ »,
« ³ »,
« < », « > ».
Rappel et
remarques préalables
Exemples
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
Conclusion :
Résoudre dans R l’inéquation :
Solution
On sait qu'une valeur absolue est
toujours largement positive.
4- Systèmes de deux
inéquations à une inconnue, du premier degré par à cette inconnue
4-1- Définition
Soit le système :
avec a, a’ coefficients réels non nuls
quelconques, b, b’, c, c’ coefficients réels quelconques,
R et
R’, des
symboles tels que « £ »,
« ³ »,
« < », « > »
Un tel système est à
une inconnue,
x. Il
est du premier degré par rapport à x.
Il est appelé « système de deux
inéquations à une inconnue x, du premier degré par rapport à x ».
4-2- Résolution
1- On procède à la résolution de la
première
inéquation du système en déterminant
l’ensemble I
des nombres réels qui la
vérifient
2- On procède à la résolution de la
deuxième
inéquation du système en déterminant
l’ensemble J
des nombres réels qui la
vérifient
3- On explicite l’ensemble S des
éléments communs
à I et à J ; S sera
l’ensemble des valeurs de x
satisfaisant simultanément la première et
la seconde inéquation,
donc satisfaisant le système
Exemples
Résoudre dans R, le système
suivant :
Solution
Pour trouver S
facilement, on peut procéder comme suit :
1-
On place sur la droite
numérique (droite orientée, munie d’une origine O et d’un vecteur
unitaire i)
les points A et B d’abscisses –1 et +1.
2-
L’extrémité de cette demi-droite, au regard de A, devra
être exclue
(graphiquement on dessine,
sur cette extrémité, un petit crochet
dont les dents sont dirigées vers l’extérieur), car la valeur
–1
est exclue ( x strictement
plus grand que –1)
3-
L’extrémité de cette demi-droite, au regard de B, devra
être exclue
(graphiquement on dessine,
sur cette extrémité, un petit crochet
dont les dents sont dirigées vers l’extérieur), car la valeur
+1
est exclue ( x strictement
plus grand que +1)
4-
L’ensemble S correspondra à tous les
intervalles ou demi-droites de la droite numérique,
chacun d’eux
étant au regard
d’au moins deux
segments ou
demi-droites,
appartenant à l’une ou l’autre des
deux
demi-droites horizontales
tracées précédemment.
Remarques
a-
Le graphique montrera bien que les valeurs –1
et +1, au regard respectivement des extrémités exclues des
demi-droites horizontales (h) et (h’)
n’appartiennent pas à S.
b-
Le nombre de
demi-droites horizontales est au moins égale au nombre d’inéquations
qui composent le
système (dans notre cas : 2).
Résoudre dans R, le système
suivant :
Solution
Là aussi, la méthode graphique exposée au
premier exemple permet de trouver facilement S.
La seule différence est que la demi-droite amorcée à partir de la
verticale abaissée du point
d’abscisse +2 a
son extrémité incluse
( x largement
inférieure à +2).
Le crochet, à cette extrémité, aura donc ses dents dirigées vers l’intérieur.
Résoudre dans R, le système
suivant :
Solution
Résoudre dans R, le système
suivant :
Solution
Inéquations - Sixième partie
5-
Résolution graphique (ou géométrique) d’un système de deux inéquations à deux
inconnues, du
premier degré par à chacune de ces inconnues
5-1- Partage du plan d’un repère
orthonormal
Soit dans le plan de ce repère la droite (d) d’équation ax + by + c = 0.
Ce plan est donc partagé par la droite (d) en trois
régions : (d) et
deux demi-plans
situés de part et d’autre de (d).
Deux quelconques
de ces trois régions n’ont aucun point commun ;
on dit alors que la droite (d) a défini
une partition du plan du repère.
Soit P et P’ les deux demi-plans ainsi obtenus.
(d) et P n’ont aucun point commun ; on dit aussi que leur intersection est vide
et on note :
On a également :
Si
(E) est le plan du repère, alors on écrit :
Premier cas : a réel nul et b réel
non nul
L’équation de (d) se réduit à :
Par conséquent (d) est
parallèle à l’axe des abscisses.
Le
plan (E) du repère est ainsi partagé en trois régions :
(d), le demi-plan P qui est l’ensemble des points du
repère situés au-dessus de (d)
et le demi-plan P’
qui est l’ensemble des points du repère situés
au-dessous de (d).
Soit M (xM , yM ) un point
quelconque appartenant à P.
Soit (D) la droite passant par M et parallèle à l’axe des ordonnées.
(D) rencontre (d) et l’axe des abscisses respectivement aux points m et H.
De plus, M étant
au-dessus de (d), on a :
Conclusion
Soit N (xN , yN ) un point
quelconque appartenant à P’.
Soit (D’) la droite passant par N et parallèle à l’axe des ordonnées.
(D’) rencontre (d) et l’axe des abscisses respectivement aux points n et H’.
De plus, N étant
au-dessous de (d), on a :
Conclusion
Réciproques
Soit M (xM , yM ) un point quelconque du
repère tel que :
Supposons que M appartiennent à P’, c’est-à-dire M situé au-dessous de (d).
Par conséquent, M ne peut appartenir à P’.
Conclusion :
Supposons que N appartiennent à P, c’est-à-dire N situé au-dessus de (d).
Par conséquent, N ne peut appartenir à P.
Conclusion :
Deuxième cas : a et b réels non
nuls
L’équation de (d) s’écrit :
ax
+ by + c = 0 ou by = – ax – c
b
étant différent de 0, on peut diviser les deux membres de la dernière égalité
par b ; on obtient ainsi :
Cette équation
sera appelée équation
réduite de (d).
Le plan (E) du repère est ainsi partagé en trois régions :
(d), le demi-plan R qui est l’ensemble des points du
repère situés au-dessus de (d)
et le demi-plan R’ qui est l’ensemble des points du repère situés
au-dessous de (d).
Soit M (xM , yM ) un point
quelconque appartenant à R.
Soit (L) la droite passant par M et parallèle à l’axe des ordonnées.
(L) rencontre (d) et l’axe des abscisses respectivement aux points m et G.
De plus, M étant
au-dessus de (d), on a :
Conclusion
Soit N (xN , yN ) un point
quelconque appartenant à R’.
Soit (L’) la droite passant par N et parallèle à l’axe des ordonnées.
(L’) rencontre (d) et l’axe des abscisses respectivement aux points n et G’.
De plus, N étant
au-dessous de (d), on a :
Conclusion
Inéquations - Septième partie
Réciproques
Soit M (xM , yM ) un point quelconque du
repère tel que :
Les
coordonnées de M ne vérifiant pas l’équation de (d),
M ne
peut donc appartenir à (d).
Supposons que M appartiennent à R’, c’est-à-dire M situé au-dessous de (d).
Par conséquent, M ne peut appartenir à R’.
Conclusion :
Soit N (xN , yN ) un point quelconque du
repère tel que :
Les
coordonnées de N ne vérifiant pas l’équation de (d),
N
ne peut donc appartenir à (d).
Supposons que N appartiennent à R, c’est-à-dire N situé au-dessus de (d).
Par conséquent, N ne peut appartenir à R.
Conclusion :
Troisième cas : a réel non nul, b réel nul
L’équation de (d) s’écrit :
ax
+ c = 0 ou ax = – c
a
étant différent de 0, on peut diviser les deux membres de la dernière égalité
par a ; on obtient ainsi :
Par conséquent (d) est
parallèle à l’axe des ordonnées.
Le
plan (E) du repère est ainsi partagé en trois régions :
(d), le demi-plan Q qui est l’ensemble des points du
repère situés à gauche de (d)
et le demi-plan Q’ qui est
l’ensemble des points du repère situés à droite
de (d).
Soit M (xM , yM ) un point
quelconque appartenant à (E).
On peut facilement établir les résultats
suivants :
Inéquations - Huitième partie
5-2- Résolution graphique du
système de forme générale :
avec a, a’, b, b’, c, c’ coefficients réels quelconques,
R et
R’, des symboles tels
que « £ »,
« ³ »,
« < », « > »
Définition
Ce système est appelé
« système de deux inéquations à deux inconnues x
et y, du premier
degré par rapport
à chacune de ces
inconnues ».
Résolution graphique
a la
droite (d)
-
le demi-plan (P) : ensemble des points du repère situés au-dessus de (d)
-
le demi-plan (P’) : ensemble des points du repère situés au-dessous de
(d)
(d) est l’ensemble des points
M du plan tels que leurs coordonnées vérifient l’équation
ax + by – c = 0
L’équation réduite de (d) est :
(P) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leur coordonnées
vérifient l’inéquation :
(P’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leur coordonnées
vérifient l’inéquation :
A partir de ce graphique on hachure la partie (S)
qui correspond à la première
inéquation du
système :
ax + by
R c
Dans le même repère, la droite (d’) d’équation a’x + b’y = c’ ou
a’x + b’y – c’ = 0 partage le plan du repère en
trois régions :
- la
droite (d’) ;
-
le demi-plan (T) : ensemble des points du repère situés au-dessus de (d’)
-
le demi-plan (T’) : ensemble des points du repère situés au-dessous de
(d’)
(d’) est l’ensemble des
points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient l’équation
a’x + b’y – c’ = 0
L’équation réduite de (d’) est :
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leur coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leur coordonnées
vérifient l’inéquation :
A partir de ce second graphique on hachure la partie
(S’) qui correspond à la deuxième
inéquation du
système :
a’x + b’y R’
c’
L’ensemble des couples (x ; y) tels que x, y nombres réels satisfaisant le
système donné sera l’intersection
de (S) et (S’).
Exemples
1-
Résoudre
géométriquement ou graphiquement le système :
(On prendra comme repère un
repère orthonormal)
Solution
Soient dans un repère
orthonormal les deux droites d et d’ d’équations respectives :
2x + 3y = –1 et x – y =
2
On détermine l’équation
réduite de d :
d partage le plan du
repère en trois régions :
d : ensemble des points
du plan du repère appartenant à d ; donc leurs coordonnées x et y vérifient
l’équation réduite
P : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Q : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation
:
Or, la première
inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S)
des points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation,
est donc P È
d.
d a été adjointe
à P car l’inégalité dans la première inéquation est
large.
On écrit :
On hachure (S)
avec une couleur, par exemple la couleur rouge.
On détermine l’équation
réduite de d’ :
d’ partage le plan du
repère en trois régions :
d’ : ensemble des
points du plan du repère appartenant à d’ ; donc leurs coordonnées x et y
vérifient l’équation réduite
P’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d’ ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Q’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de d’ ; donc
leurs cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Or, la deuxième
inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S’) des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation, est
donc P’.
On écrit :
(S’) = P’
On hachure (S’) en bleu
Conclusion
L’ensemble des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient le système donné est
donc la partie commune
(doublement hachurée en bleu et
en rouge) à (S) et à (S’).
Elle s’écrit :
2-
Résoudre
géométriquement ou graphiquement le système :
(On
prendra comme repère un repère orthonormal)
Solution
Soient dans un repère
orthonormal les deux droites d et d’ d’équations respectives :
–x + 3y = –1 et x = 2
On détermine l’équation
réduite de d :
d partage le plan du
repère en trois régions :
d : ensemble des points
du plan du repère appartenant à d ; donc leurs coordonnées x et y vérifient
l’équation réduite
P : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Q : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Or, la première
inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S) des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation, est
donc P.
On écrit :
(S) = P
On hachure (S) en rouge.
L’équation de d’ étant
x = 2, d’ est parallèle à l’axe des ordonnées.
d’ partage le plan du
repère en trois régions :
d’ : ensemble des
points du plan dont les coordonnées x et y vérifient l’équation x = 2
P’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés à gauche de d’ ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation x < 2
Q’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés à droite de d’ ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation x > 2
Or, la deuxième
inéquation du système est :
x < 2
L’ensemble (S’) des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation, est
donc P’.
On écrit :
(S’) = P’
On hachure (S’) en bleu
Conclusion
L’ensemble des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient le système donné est
donc la partie commune
(doublement hachurée en bleu et
en rouge) à (S) et à (S’).
Elle s’écrit :
3-
Résoudre
géométriquement ou graphiquement le système :
(On
prendra comme repère un repère orthonormal)
Solution
Soient dans un repère
orthonormal les deux droites d et d’ d’équations respectives :
3y = –1 et x = 2
L’équation de d s’écrit
également :
d est donc parallèle à
l’axe des abscisses.
d partage le plan du
repère en trois régions :
d : ensemble des points
du plan du repère dont les coordonnées x et y vérifient l’équation :
P : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Q : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de d ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation :
Or, la première
inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S) des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation, est
donc P.
On écrit :
(S) = P
On hachure (S) en rouge.
L’équation de d’ étant
x = 2, d’ est parallèle à l’axe des ordonnées.
d’ partage le plan du
repère en trois régions :
d’ : ensemble des
points du plan du repère dont les coordonnées x et y vérifient l’équation x = 2
P’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés à gauche de d’ ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation x < 2
Q’ : le demi-plan,
ensemble des points du plan du repère situés à droite de d’ ; donc leurs
cordonnées x et y
vérifient l’inéquation x > 2
Or, la deuxième
inéquation du système est :
L’ensemble (S’) des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient cette inéquation, est
donc :
On écrit :
On hachure (S’) en bleu
Conclusion
L’ensemble des
points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient le système donné est
donc la partie commune
(doublement hachurée en bleu et
en rouge) à (S) et à (S’).
Elle s’écrit :
Inéquations - Neuvième partie
4-
Résoudre géométriquement ou
graphiquement le système :
(On prendra comme repère un
repère orthonormal)
Solution
Soient
dans un repère orthonormal les deux droites d et d’ d’équations respectives :
5x – 3y
= –1 et – x – 2y = 2.
On
détermine l’équation réduite de d :
d
partage le plan du repère en trois régions :
d :
ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées x et y vérifient
l’équation réduite
P : le
demi-plan, ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d ;
donc leurs cordonnées
x et y vérifient l’inéquation :
Q : le
demi-plan, ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de d ;
donc leurs cordonnées
x et y vérifient l’inéquation :
Or, la
première inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S) des points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient
cette inéquation, est donc Q.
On
écrit :
(S) = Q
On hachure (S) en rouge.
On
détermine l’équation réduite de d’ :
d’
partage le plan du repère en trois régions :
d’ :
ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées x et y vérifient
l’équation réduite y = – (1/2) x – 1
P’ : le
demi-plan, ensemble des points du plan du repère situés au-dessus de d’ ;
donc leurs cordonnées
x et y vérifient l’inéquation :
Q’ : le
demi-plan, ensemble des points du plan du repère situés au-dessous de
d’ ; donc leurs cordonnées
x et y vérifient l’inéquation :
Or, la
deuxième inéquation du système s’écrit :
L’ensemble (S’) des points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient
cette inéquation, est donc :
On écrit :
On hachure (S’) en bleu.
Conclusion
L’ensemble des points du plan du repère, dont les coordonnées vérifient le
système donné est donc
la partie commune
(doublement hachurée en bleu et
en rouge) à (S) et à (S’).
Elle
s’écrit :
6- Résolution graphique (ou
géométrique) d’une inéquation à deux inconnues, du second degré par rapport
à chacune de ces inconnues
6-1- Définition
Soit l’inéquation de la forme :
avec a, a’ coefficients réels
non nuls quelconques, b, b’, coefficients réels quelconques et
R, un symbole tels que
« £ »,
« ³ »,
« < », « > »
Cette inéquation est dite « inéquation à
deux inconnues, x et y, du
second degré par
rapport à chacune
de ces inconnues ».
6-2- Résolution graphique
L’équation réduite de (d) est :
(d) partage le plan du repère en
trois régions :
-
la droite (d) ;
-
le demi-plan (P), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d)
-
le demi-plan (P’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d)
(d) est l’ensemble des points du
plan du repère dont les coordonnées vérifient l’équation réduite de (d)
(P) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(P’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
L’équation réduite de (d’) est :
(d’) partage le plan du repère en
trois régions :
-
la droite (d’)
-
le demi-plan (T), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d’)
-
le demi-plan (T’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d’)
(d’) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées vérifient
l’équation réduite
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
On considère ensuite les régions
suivantes :
Comme l’inéquation donnée est le produit :
dans chacune de ces régions, on « multiplie les
signes », puis on ne retient que les régions
(Si) dans
lesquelles le résultat de cette « multiplication » donne
le symbole
R
de l’inéquation donnée.
L’ensemble des couples (x ; y) tels que x, y nombres réels satisfaisant
l’inéquation donnée sera
l’union des (Si).
Inéquations - Dixième partie
Exemples
1-
Résoudre graphiquement :
(On prendra pour cela un repère orthonormal)
Solution
L’équation réduite de (d) est :
(d) partage le plan du repère en
trois régions :
la droite (d) ;
le demi-plan (P), ensemble des points du plan du repère
situés au-dessus de (d)
-
le demi-plan (P’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d)
(d) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées
vérifient l’équation réduite de (d)
(P) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
(P’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
L’équation réduite de (d’) est :
(d’) partage le plan du repère en
trois régions :
la droite (d’)
- le
demi-plan (T), ensemble des points du plan du repère situés au-dessus
de (d’)
- le
demi-plan (T’), ensemble des points du plan du repère situés au-dessous
de (d’)
(d’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’équation réduite de (d')
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
On
considère ensuite les régions suivantes :
Conclusion
L’ensemble des points M(x ; y) du plan
du repère tels que leurs coordonnées x et y vérifient l’inéquation donnée est :
On hachure donc la région correspondante.
Remarque :
(d) a été adjointe à (P) et (P’) car l’inégalité dans
l’inéquation donnée est large;
il en est de même pour (d’) qui a été adjointe à (T) et (T’).
2-
Résoudre graphiquement :
(On prendra pour cela un repère orthonormal)
Solution
L’équation réduite de (d) est :
(d) partage le plan du repère en
trois régions :
la droite (d) ;
- le demi-plan (P), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d)
- le demi-plan (P’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d)
(d) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées
vérifient l’équation réduite de (d)
(P) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
(P’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
L’équation réduite de (d’) est :
(d’) partage le plan du repère en
trois régions :
la droite (d’)
-
le demi-plan (T), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d’)
- le
demi-plan (T’), ensemble des points du plan du repère situés au-dessous
de (d’)
(d’) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées
vérifient l’équation réduite de (d')
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
On
considère ensuite les régions suivantes :
Conclusion
L’ensemble des points M(x ; y) du plan
du repère tels que leurs coordonnées x et y vérifient l’inéquation donnée est
:
On hachure la région correspondante.
Inéquations - Onzième partie
3-
Résoudre graphiquement :
(On prendra pour cela un repère orthonormal)
Solution
L’équation
de (d) étant y = 0, (d) est confondue avec l’axe des abscisses.
(d)
partage le plan du repère en trois
régions :
la droite (d) ;
le demi-plan (P), ensemble des points du plan du repère
situés au-dessus de (d)
le demi-plan (P’), ensemble des points du plan du repère
situés au-dessous de (d)
(d) = (x’x) est l’ensemble des points du plan du repère dont les ordonnées sont
nulles
(P) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs ordonnées vérifient
l’inéquation :
(P’) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs ordonnées
vérifient l’inéquation :
L’équation réduite de (d’) est :
(d’) partage le plan du repère en
trois régions :
la droite (d’)
le demi-plan (T), ensemble des points du plan du repère
situés au-dessus de (d’)
le demi-plan (T’), ensemble des points du plan du repère
situés au-dessous de (d’)
(d’) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées vérifient
l’équation réduite de (d')
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
On
considère ensuite les régions suivantes :
Conclusion
L’ensemble des points M(x ; y) du plan
du repère tels que leurs coordonnées x et y vérifient l’inéquation donnée est :
On
hachure la région correspondante.
4-
Résoudre
graphiquement :
(On prendra pour cela un repère orthonormal)
Solution
On
peut donc factoriser :
L’inéquation peut donc s’écrire :
L’équation
réduite de (d) est :
(d) partage le plan du repère en
trois régions :
-
la droite (d) ;
-
le demi-plan (P), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d)
-
le demi-plan (P’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d)
(d) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées vérifient
l’équation réduite de (d)
(P) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs ordonnées vérifient
l’inéquation :
(P’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs ordonnées vérifient
l’inéquation :
L’équation réduite de (d’) est :
(d’) partage le plan du repère en
trois régions :
-
la droite (d’)
-
le demi-plan (T), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessus de (d’)
-
le demi-plan (T’), ensemble des points du plan du repère situés
au-dessous de (d’)
(d’) est l’ensemble des points du plan du repère dont les coordonnées vérifient
l’équation réduite de (d')
(T) est l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées
vérifient l’inéquation :
(T’) est
l’ensemble des points du plan du repère tels que leurs coordonnées vérifient
l’inéquation :
On
considère ensuite les régions suivantes :
Conclusion
L’ensemble des points M(x ; y) du plan
du repère tels que leurs coordonnées x et y vérifient l’inéquation donnée est
:
On
hachure la région correspondante.
Applications du
théorème de Thalès -
Première partie
1- Un théorème préalable
La démonstration de ce
théorème est établie, ici, pour un triangle quelconque dont les trois angles
intérieurs sont aigus.
Il sera ensuite
admis sans démonstration pour des angles intérieurs quelconques.
Théorème 1
Dans un triangle quelconque, les longueurs des
trois côtés sont respectivement proportionnelles aux sinus
des mesures des trois angles intérieurs.
De plus le rapport de proportionnalité est égal à la longueur du diamètre du
cercle circonscrit à ce triangle.
Démonstration
Soit un triangle
quelconque (ABC) dont les côtés [AB], [BC] et [AC] mesurent respectivement c, a,
b et
dont les mesures de ses angles intérieurs en A, B, C sont respectivement m, n,
p.
Soient le cercle (C)
circonscrit à ce triangle, O son centre et R son rayon.
Soit A’ le point de (C)
diamétralement opposé à A.
L’angle {[BA) , [BA’)}
étant inscrit dans un demi-cercle de (C) est droit ; donc le triangle (ABA’) est
un
triangle rectangle en B.
Dans ce triangle
rectangle, on pose m’ la mesure de l’angle intérieur en A’.
Donc :
Or, les angles {[A’B) , [A’A)},
de mesure m’, et {[CB) , [CA)}, de mesure p, inscrits dans un même cercle,
le cercle (C), et interceptant le même arc, l’arc de cercle (AB), ont
même mesure ; donc m’ et p sont égaux
et on a :
sin m’ = sin p
Dans l’égalité (1), en
remplaçant sin m’ par son égal sin p, on obtient finalement :
Par la même méthode, on peut
établir les deux autres relations :
Conclusion
2- Démonstration du théorème de Thalès
Points et
segments homologues
Soit une famille de droites parallèles rencontrant
une première droite sécante en A1 , A2 , A3 , .
. . , Ak , Ak+1 ,
. . . , An et une seconde droite sécante en B1 , B2
, B3 , . . . , Bk , Bk+1 , . . . , Bn
.
Deux points des sécantes pris sur une même
droite parallèle sont dits
homologues ;
deux segments définis
par des points homologues sont dits
homologues.
Ainsi, A1 et B1
sont homologues ; A2 et B2 sont homologues.
[A1A2]
et [B1B2] sont donc deux segments
homologues.
D’une manière générale, Ai
et Bi sont homologues ; Ak et Bk sont
homologues.
[AiAk]
et [BiBk] sont donc deux segments
homologues, ceci pour tous indices i et k pris dans l’ensemble
{1, 2, 3, . . . , n}.
Théorème 2
Si des droites parallèles sont coupées
par deux sécantes, le rapport des longueurs de deux segments
quelconques inclus dans une même sécante est égal à celui des
longueurs des deux segments homologues
inclus dans l’autre sécante.
Ce théorème est nommé " théorème de Thalès "
Démonstration
Soient n droites parallèles d1 , d2
, d3 , . . . , dk , dk+1 , . . . , dn
coupées par deux sécantes (D) et (D’).
(D) et (D’) coupent di aux points
homologues Ai et Bi , ceci pour tout indice i appartenant
à l’ensemble
{1, 2, 3, . . . , n}.
Soient
deux indices quelconques h, k appartenant à
{1, 2, 3, . . . , n} et tels que (h + 1) et (k +
1)
appartiennent également à {1, 2, 3, . . . , n}.
Des points Ah et Ak menons
respectivement les droites (u) et (v) parallèles à (D’). (u) rencontre dh+1
au
point M et (v) rencontre dk+1 au point N.
Considérons les deux triangles (AhMAh+1)
et (AkNAk+1).
Posons m, n, les mesures respectives des angles
intérieurs en M et Ah+1 dans le triangle (AhMAh+1)
et
m’, n’, les mesures respectives des angles intérieurs en N et Ak+1
dans le triangle (AkNAk+1).
Posons
également a, b les longueurs respectives des côtés
[Ah Ah+1], [Ah M]
dans le triangle (AhMAh+1)
et a’, b’ les longueurs respectives des côtés [Ak Ak+1], [Ak
N] dans le triangle (AkNAk+1).
En appliquant à ces deux triangles le théorème
énoncé en préalable tout au début de ce chapitre et démontré,
nous pouvons écrire :
De plus, on a :
Par ailleurs,
du fait que (u) et (v) soient parallèles et que dh , dh+1
, dk , dk+1 soient parallèles, les angles
intérieurs en M et Ah+1 dans le triangle (AhMAh+1)
et les angles intérieurs en N et Ak+1 dans le triangle
(AkNAk+1) ont leurs mesures respectives égales : m = m’ ;
n = n’.
Donc
leurs sinus respectifs sont égaux : sin m = sin m’ et
sin n = sin n’.
On en déduit que :
Les
quadrilatères (Ah BhBh+1M) et (Ak BkBk+1N)
ayant, chacun, les côtés deux à deux opposés et de
supports parallèles, sont des parallélogrammes ; donc :
b = Ah M = BhBh+1
b’ = Ak N = BkBk+1
Comme a = Ah Ah+1 et a’ = AkAk+1
(2) s’écrit finalement :
Réciproque du théorème de Thalès
Si n droites
déterminent sur deux sécantes des segments dont les longueurs sont
proportionnelles, ces
segments étant pris dans le même ordre sur
ces deux sécantes, et si (n – 1) de ces droites sont parallèles,
alors la nième droite leur est également parallèle.
Démonstration
Soient n droites d1 , d2 , d3
, . . . , dk , dk+1 , . . . , dn coupées
par deux sécantes (D) et (D’).
(D) et (D’) coupent di aux points homologues Ai et Bi
, ceci pour tout indice i appartenant à l’ensemble
{1, 2, 3, . . . , n}.
Par hypothèse,
nous avons :
d1 , d2 , d3 , .
. . ,
dk
,
dk+2
, . . . , dn , parallèles
et
Nous devons démontrer
que la nième droite :
dk+1
est parallèle aux (n – 1) droites d1 , d2 , d3
, . . . , dk , dk+2 , . . . , dn .
Menons du point Ak+1
le droite (d) parallèle à d1 , d2 , d3 ,
. . . , dk , dk+2 , . . . , dn .
Elle rencontre le segment
[Bk+1Bk+2] au point B’k+1 .
Le théorème de Thalès
appliqué aux droites parallèles d1 , d2 , d3 ,
. . . , dk , d , dk+2 , . . . , dn
donne :
Or, par hypothèse,
Deux quantités égales à
une même troisième sont égales ; donc :
On en déduit que :
Par conséquent, les points
Bk+1 et B’k+1 sont confondus et ainsi (d) est confondue
avec la droite dk+1.
Comme (d) est parallèle à d1
, d2 , d3 , . . . , dk , dk+2
, . . . , dn , alors son égale
dk+1
l’est aussi.
Cette conclusion, vraie pour l’indice k pris
arbitrairement dans l’hypothèse, l’est également pour tout
indice qui sera pris dans {1, 2, 3, …, n}.
Le théorème de Thalès
appliqué à deux droites concourantes
Théorème 3
Si
deux droites parallèles quelconques, (d) et (d’), rencontrent deux
droites concourantes quelconques (D) et
(D’), alors deux quelconques des segments définis sur (D) [resp. (D’)] et les
segments qui leur sont homologues,
définis sur (D’) [resp. (D)], sont dans une proportion.
Par ailleurs, (D) et (D’) délimitent sur les droites parallèles (d) et
(d’) deux segments dont les longueurs
sont dans une de ces proportions.
Démonstration
Soient deux droites concourantes quelconques (D)
et (D’) et soit A leur point d’intersection.
Soient (d) et (d’) deux droites parallèles
quelconques telles que :
(d) rencontre (D) et (D’) respectivement aux
points M et N
(d’) rencontre (D) et (D’) respectivement aux
points M’et N’
Soit (D ) la droite parallèle à (d) et (d’) passant
par A.
(D ), (d) et (d’) étant parallèles et coupées par
les deux sécantes (D) et (D’), le théorème de Thalès s’applique :
le rapport des longueurs de deux segments quelconques inclus dans (D) est
égal à celui des longueurs des
deux segments qui leur sont homologues inclus dans (D’).
On a
donc :
Dans chacune de ces proportions,
en inversant les rapports, on obtient les trois autres proportions :
Dans le triangle (AMN),
posons n la mesure de l’angle intérieur en N.
Dans le triangle (AM’N’),
posons n’ la mesure de l’angle intérieur en N’.
Soit a est la mesure de
l’angle intérieur en A, commun à ces deux triangles.
D’après le théorème énoncé
en préalable, au début de ce chapitre, on a :
Or, (MN) et (M’N’) étant
parallèles, les angles correspondants en N et N’ont leurs mesures
égales ;
donc n = n’ et sin n = sin n’.
Dans cette dernière
proportion, en permutant les termes moyens, on obtient :
D’après (3), on obtient
finalement :
Application du théorème de Thalès au trapèze
Dans un trapèze quelconque toute droite
(d) parallèle aux bases partage les côtés non parallèles en des
segments tels que, le rapport des longueurs de deux quelconques des segments
situés sur un de ces côtés
non parallèles est égal à celui des longueurs de leurs homologues situés
sur l’autre côté.
Démonstration
Soit (ABCD) un trapèze quelconque dont les bases
sont [AB] et [DC].
Soit une droite (d) parallèle à ces bases et
rencontrant les côtés non parallèles [AD] et [BC] respectivement
en M et N.
Les
droites (AB), (DC) et (d) étant trois droites parallèles coupées par les
deux sécantes (AD), (BC),
le théorème de Thalès s’applique et on a, indifféremment :
La réciproque
Dans un trapèze quelconque, si une droite
rencontre les côtés non parallèles et les partage en des segments tels
que, pris dans le même ordre sur ces côtés non parallèles, leurs
longueurs sont proportionnelles,
alors elle est parallèle aux supports des bases.
Démonstration
Soit un trapèze quelconque
(ABCD) dont les deux bases sont [AB] et [DC].
Soit (d) une droite
rencontrant les côtés non parallèles [AD] et [BC] respectivement aux points M, N
et tels que :
Ainsi, (d), (AB) et (DC)
partagent les sécantes (AD) et (BC) en des segments [MA] et [MD], d’une part,
[NB] et [NC] d’autre part, tels que :
De plus, (AB) et (DC) sont
parallèles.
Par conséquent, la
réciproque du théorème de Thalès s’applique et on a
(d) parallèle aux supports
(AB) et (DC) des bases.
Application du théorème de Thalès au triangle
Dans un triangle quelconque, si une
droite passe par le milieu d’un, quelconque, de ses côtés, et est
parallèle
au support d’un second côté, alors elle passe par le milieu du
troisième côté.
Démonstration
Dans un triangle (ABC),
soit (d) une droite passant par le milieu M du côté [AB] et parallèle à (AC).
Soit N le point de
rencontre de (d) avec le côté [BC].
Menons de B la droite (d’)
parallèle à (d) et (AC).
D’après le théorème de
Thalès, les trois droites parallèles (d), (d’) et (AC) coupent les deux sécantes
(BA) et (BC)
en des segments tels que le rapport des longueurs de deux entre eux,
quelconques, inclus dans une même sécante
est égal à celui des longueurs des deux segments homologues inclus dans
l’autre sécante.
Par conséquent,
Cette dernière proportion permet donc d’écrire :
Par conséquent N est milieu
de [BC].
Application de la réciproque du théorème de
Thalès à un triangle
Dans un triangle quelconque, le segment joignant
les milieux de deux quelconques, de ses trois côtés, a son
support parallèle à celui du troisième côté.
Démonstration
Je trace un triangle quelconque (ABC).
Je place ensuite le milieu
M du côté [AB] et le milieu N du côté [AC].
De A, je mène la droite
(d) parallèle à (BC).
J’ai donc :
(d), (MN) et (BC)
partagent les sécantes (AB) et (AC) en de segments [AM], [AB] sur (AB) et [AN],
[AC] sur (AC), tels que :
De plus, (d) est parallèle
à (BC)
D’après la réciproque du
théorème de Thalès,
la droite (MN) est donc parallèle au support (BC) du troisième
côté [BC].
Conséquence qui en découle
Théorème 4
Dans un triangle quelconque, le segment joignant les
milieux de deux quelconques, de ses trois côtés, a sa
longueur égale à la moitié de celle de ce troisième côté.
Démonstration
Dans un triangle (ABC), soient M et N milieux
respectifs des côtés [AB] et [AC].
On vient de démontrer que
(MN) est parallèle à (BC).
Menons de M la droite (d)
parallèle à (AC) et rencontrant le côté [BC] en P.
(MNCP) a ses côtés deux à
deux parallèles ; donc ce quadrilatère est un parallélogramme et ses côtés sont
deux à deux opposés et de même longueur.
Ainsi MN =
PC.
Or, d’après la première
application du théorème de Thalès au triangle, traitée précédemment, (MP) = (d)
passant par le milieu M du côté [AB] et parallèle au second côté [AC], passe par
le milieu du troisième
côté [BC] ; donc P est milieu de ce côté et on a :
Deux quantités égales à une même
troisième sont égales et ainsi :
Applications du
théorème de Thalès -
Deuxième partie
3-
Je
m’entraîne
Démontre le théorème suivant :
Si des droites parallèles partagent une
sécante en des segments consécutifs de même longueur, alors elles
partagent
toute autre sécante en des segments consécutifs de même longueur.
Application
Partage le segment [AB] de longueur 22 cm en
sept segments de même longueur.
Solution
Soient n droites
parallèles d1 , d2 , d3 , . . . , dk
, dk+1 , . . . , dn coupées par une sécante (D).
(D) coupe les droites di
aux points Ai , ceci pour tout indice i appartenant à
l’ensemble {1, 2, 3, . . . , n}.
De plus, j’ai par hypothèse,
A1A2 = A2A3 = A3A4
= A4A5 = … = AiAi+1 = Ai+1Ai+2
= … = An - 1An.
Je trace une deuxième
sécante quelconque (D’), donc différente de (D), qui coupe les droites (di)
aux points Bi.
Je dois démontrer
que :
B1B2 = B2B3
= B3B4 = B4B5 = … = BiBi+1
= Bi+1Bi+2 = … =
Bn – 1Bn
Les droites di
sont parallèles et sont coupées par deux sécantes, (D) et (D’).
Le théorème de Thalès
s’applique et je peux dire que le rapport des longueurs de deux segments
quelconques
inclus dans une même sécante est égal à celui des longueurs des deux segments
homologues inclus dans
l’autre sécante.
En particulier, le rapport
des longueurs de deux segments adjacents quelconques inclus dans
une même sécante
est égal à celui des longueurs des deux segments homologues inclus dans
l’autre sécante.
BkBk+1 = Bk+1Bk+2
étant vraie pour tout indice k appartenant à {1, 2, 3, . . .
, n} et tel que (k + 1) et (k + 2)
appartiennent également à {1, 2, 3, . . . , n}, alors :
Remarque importante
La valeur commune
des AkAk+1 et celle des BkBk+1 sont
généralement différentes (l’égalité de ces deux valeurs étant vérifiée
uniquement dans le cas particulier où les deux sécantes sont parallèles)
Application
Avec ma règle graduée, je trace le segment [AB] dont la longueur est égale à 22
cm.
Je
dois partager ce segment en sept parties de même longueur.
D’un point quelconque de l’extrémité du segment, par exemple du point A, je
trace une demi-droite quelconque [Ax.
Avec une même ouverture de compas choisie arbitrairement et à
partir de A, je place sur cette demi-droite
sept points B, C, D, E, F, G et H.
J’ai donc AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH.
Je
joins le point H à l’autre extrémité B de [AB].
Je
construis avec mon compas les droites parallèles à (HB), passant respectivement
par les points G, F, E, D, C
et B. Ces droites parallèles coupent [AB] respectivement aux points G’, F’, E’,
D’, C’ et B’.
Les droites parallèles (BB’), (CC’), (DD’), (EE’), (FF’), (GG’) sont partagées
par la sécante [Ax en des segments consécutifs de même longueur.
Donc,
d’après le théorème précité, l’autre sécante (AB) les partagera aussi en des
segments consécutifs de
même longueur ; ainsi j’ai :
AB’ = B’C’ = C’D’ = D’E’
= E’F’ = F’G’ = G’B
J’ai ainsi partagé le segment
[AB] en sept segments de même longueur.
Remarque
Cette méthode
géométrique est très intéressante car elle a permis de partager
géométriquement en 7 parties
égales un segment dont la longueur est un nombre entier naturel, 22, non
divisible par 7.
En effet, la division de
22 par 7 donne comme quotient le nombre :
3,1428571428571428571428571428571
La règle graduée la plus
sophistiquée ne peut permettre un tel partage.
On donne un triangle (ABC) et une droite (d)
parallèle à [BC] rencontrant les côtés [AB] et [AC]
respectivement aux points M et N.
AN = 6 cm ; NC = 2 cm ; MN = 4 cm.
Calcule BC.
Solution
(d) est parallèle à
(BC) ; par conséquent le théorème de Thalès s’applique : le rapport des
longueurs de
deux segments quelconques définis sur (AB) est égal à celui des longueurs
de leurs homologues définis
sur (AC).
L’homologue du point
A
est
lui-même ;
celui de M
est
N
et celui de
B
est
C.
Mais aussi on sait que :
On sait que dans une
proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes extrêmes ;
donc :
Dis pourquoi le triangle (ABC) tel que AB = 8
cm, AC = 6 cm et BC =5 cm existe.
Construis (ABC) avec ton compas et ta règle.
Sur [AB] place le point M tel que AM = 5 cm.
La parallèle à (BC) passant par M coupe le côté
[AC] en N.
Calcule AN et MN.
Solution
8 – 5 < 6 < 8 + 5 ou AB –
BC < AC < AB + BC
Les mesures des segments [AB],
[BC] et [AC] vérifiant l'inégalité triangulaire,
le triangle (ABC) existe.
Pour construire (ABC), on
procède de la manière suivante :
Avec la règle gradué, on
construit un quelconque des trois segments [AB], [BC] et [AC], par exemple [AC].
Du point A, avec une
ouverture de compas égale à 8 cm, on trace un arc de cercle (C1).
Du point C, avec une
ouverture de compas égale à 5 cm, on trace un arc de cercle (C2).
(C1) et (C2)
se coupent au point B
On obtient ainsi le
triangle (ABC) demandé.
Dans le triangle (ABC), (MN)
étant parallèle à (BC), support du côté [BC], le troisième théorème
s’applique :
deux segments quelconques définis sur (AB) et leurs homologues
définis sur (AC) ont leurs longueurs dans
une proportion.
De plus MN et BC sont dans
une de ces proportions.
On a donc :
L’égalité (1) donne :
On sait que dans cette
proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes extrêmes ;
donc :
L’égalité (2) donne :
On sait que dans cette
proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes extrêmes ;
donc :
On donne deux droites (x’x) et (y’y) concourant
au point O.
Sur (x’x), de part et d’autre de O, on place les
points M et N tels que
OM = 6 cm et ON = 12 cm.
Du point M, on trace une droite (d) coupant
(y’y) au point M’.
Du point N, on mène la droite (d’) parallèle à (d) et rencontrant (y’y) au point
N’.
Sachant que OM’ = 1,5 cm, calcule ON’.
On pose MM’ = a ; calcule NN’ en fonction de a.
Solution
Les deux droites (d) et
(d’) étant parallèles, le troisième théorème s’applique et deux segments
quelconques
définis sur (x’x) ont le rapport de leurs longueurs égal à celui des longueurs
de leurs homologues définis
sur (y’y).
De plus, (x’x) et (y’y)
délimitent sur (d) et (d’) deux segments dont les longueurs sont dans une
de ces
proportions.
Ainsi, on a :
L’égalité des deux
premiers rapports donne :
On sait que dans cette
proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes extrêmes ;
donc :
L’égalité du premier
rapport et du troisième donne :
On sait que dans cette
proportion, le produit des termes moyens est égal à celui des termes extrêmes ;
donc :
On donne un triangle quelconque (ABC).
Du point M milieu de [AB], on mène la droite (d)
parallèle au support de [BC] et rencontrant [AC]
au point N.
Du point N, on mène la droite (D) parallèle au
support de [AB] et rencontrant [BC] au point P.
Démontre que [AP] est la médiane relative au
côté [BC].
Solution
Dans le triangle (ABC),
(d) passe par le milieu M du côté [AB] et est parallèle à au support du côté
[BC].
Or, on sait que dans un
triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au
support d’un
deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Par conséquent, (d) passe
par le milieu du troisième côté [AC] qui ne peut être que N, puisque deux
droites
concourantes se rencontrent en un seul point.
Pour la même raison, (D)
passant par le milieu N du côté [AC] et étant parallèle au support du côté [AB],
passe par le milieu du troisième côté [BC] qui ne peut être que P.
P étant est milieu de
[BC],
[AP] est la
médiane relative au côté [BC].
On donne un triangle rectangle (ABC) dont
l’angle droit est en A.
Soient M, N les milieux respectifs de [AB] et
[AC].
On pose a la longueur de l’hypoténuse.
Calcule MN en fonction de a.
De N on mène la droite (d) parallèle à (AB) et
rencontrant l’hypoténuse au point P.
Quelle est la nature du quadrilatère (ANPM) ?
Solution
On sait que dans un
triangle, le segment joignant les milieux de deux quelconques, de ses trois
côtés, a son
support parallèle à celui du troisième côté, et sa longueur égale à la moitié de
celle de ce troisième côté.
Ainsi, [MN] joignant les
milieux M et N des deux côtés [AB] et [AC], a son support parallèle à
l’hypoténuse
[BC] et sa longueur égale à la moitié de celle de cette hypoténuse ; donc :
Or, on sait que dans un
triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au
support d’un
deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
(d) passant par N milieu
de [AC] et étant parallèle à (AB), passe donc par le milieu du troisième côté
[BC] ;
ainsi P est milieu de [BC].
M et P étant
respectivement milieux de [BC] et [BA], le segment [PM] a son support parallèle
à celui du
troisième côté [AC]
Dans (ANPM), on a :
(NP) // (AB) ou (AM)
(PM) // (AC) ou (AN)
Ce quadrilatère, ayant les
côtés deux à deux opposés et parallèles, est un parallélogramme.
De plus son angle au sommet A
est droit ; donc il est
un
rectangle.
On sait que dans un
rectangle, les diagonales ont leurs longueurs égales ; donc, dans le rectangle (ANPM),
AP = MN.
Deux quantités égales à une même
troisième sont égales ; par conséquent :
Remarque importante
P étant milieu de [BC], donc
[AP] étant la médiane relative à l’hypoténuse [BC], on vient de démontrer
une propriété importante de tout triangle rectangle :
La longueur de la
médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de cette
hypoténuse.
On donne un triangle quelconque (ABC).
On trace une droite (d) parallèle à (BC),
rencontrant [AC] et [AB] respectivement aux points M et E.
On trace une droite (d’) passant par E,
parallèle à (AC) et rencontrant [BC] au point K.
Complète :
Solution
(d) ou (EM) est parallèle
au support du côté [BC] ; donc le troisième théorème s’applique : deux segments
quelconques définis sur (AB) et leurs homologues définis sur
(AC) ont leurs longueurs dans une proportion.
De plus le segment [EM]
délimité par (AB) et (AC) et le côté [BC] ont leurs longueurs dans une de
ces
proportions.
Ainsi, M et E étant
homologues, on a :
(d’) ou (EK) est parallèle
au support du côté [AC] ; donc le troisième théorème s’applique : deux segments
quelconques définis sur (AB) et leurs homologues définis sur
(BC) ont leurs longueurs dans une proportion.
De plus le segment [EK]
délimité par (AB) et (BC) et le côté [AC] ont leurs longueurs dans une de
ces proportions.
Ainsi, E et K étant
homologues, on a :
Si on inverse les rapports dans
la double proportion (1), on obtient la double proportion :
Si on inverse les rapports
dans la double proportion (2), on obtient la double proportion :
On donne deux droites concourantes (D1)
et (D2) et O leur intersection.
(d) et (d’) sont deux droites parallèles telles
que :
- (d) et (d’) coupent (D1)
respectivement aux points A1 et B1
- (d) et (d’) coupent (D2)
respectivement aux points A2 et B2
On a :
A1B1 = 3 cm; OB1
= 5 cm et OB2 = 4 cm
Calcule A2B2
Solution
Les deux droites (d) et
(d’) étant parallèles, le théorème de Thalès s’applique : deux segments
quelconques
définis sur (D1) et leurs homologues définis sur (D2)
ont leurs longueurs proportionnelles.
Ainsi, par exemple :
Or, OB1 = 5 cm, A1B1
= 3 cm et OB2 = 4 cm.
Donc :
Dans cette dernière
proportion, le produit des termes extrêmes est égal à celui des moyens termes ;
donc :
On donne un jardin trapézoïdal (ABCD)
dont la petite base est [AB] et dont la hauteur mesure h = 7 m.
Les droites contenant les côtés non parallèles
se coupent au point O.
Sachant que OA = 15 m, AD = 10 m, CD = 35 m,
calcule AB et en déduire l’aire de ce jardin en ares.
Solution
Dans le triangle (ODC), la
droite (AB) est parallèle
à (DC), support du côté [DC].
D’après le troisième théorème,
deux segments quelconques définis sur (OD) et leurs homologues
définis sur
(OC) ont leurs longueurs proportionnelles.
De plus, [AB] et [DC] ont
leurs longueurs dans une de ces proportions.
Ainsi :
Or, OD = OA + AD = (15 +
10) m = 25 m.
Si on pose S l’aire du
jardin, et sachant que l’aire d’un trapèze est égale au produit de sa hauteur
par la
demi somme de ses bases, alors :
Or, on sait que 1 are vaut
1 dam 2
Donc :
S
= 196 m 2 = 1,96 dam
2
= 1,96 ares.
On donne un triangle quelconque (ABC).
Soit B’ un point quelconque appartenant au côté
[AB].
On mène de B’ la droite (d) parallèle à (BC) qui
coupe le côté [AC] au point C’.
1- Dans le triangle (ABC), on abaisse de A la
hauteur [AH] relative au côté [BC] qui rencontre (d) en H’.
Démontre que dans le triangle (AB’C’), [AH’] est la hauteur relative au côté
[B’C’].
P et P’ étant les périmètres respectifs des
triangles (ABC) et (AB’C’) ; S et S’ étant leurs aires respectives,
démontre que :
2- Dans le triangle (ABC), on mène la médiane [AM]
relative au côté [BC]. Elle coupe (d) au point M’.
Solution
1-
(AH) étant perpendiculaire
à (BC), elle est perpendiculaire à toute droite parallèle à (BC) et en
particulier à (d).
Comme H’ appartient à (AH), (AH) et (AH’) sont identiques.
Par conséquent (AH’) est
perpendiculaire à (d) ou encore à (B’C’) ; ainsi
[AH’] est
la hauteur relative au côté
[B’C’] dans le triangle (AB’C’).
Dans le triangle (ABH), la
droite (B’H’) est parallèle au support de [BH], car (d) et (BC) sont
parallèles.
Le théorème de Thalès
s’applique : deux segments quelconques définis sur (AB) et leurs
homologues définis
sur (AH) ont leurs longueurs proportionnelles.
Ainsi, on a :
P est égal à la somme des
trois longueurs des côtés du triangle (ABC) ; donc :
P = AB + BC + CA
P’ étant le périmètre du
triangle (AB’C’), on a :
P’ = AB’ +B’C’+C’A
Or, dans le triangle (ABC),
(B’C’) étant parallèle à (BC), le troisième théorème s’applique : deux
segments
quelconques définis sur (AB) et leurs homologues définis sur (AC) ont
leurs longueurs proportionnelles.
De plus, [B’C’] et [BC]
ont leurs longueurs dans une de ces proportions.
Ainsi, on a :
En additionnant membre à
membre les trois dernières égalités ci-dessus, on obtient :
P’ = AB’ + AC’ + B’C’ = k . AB +
k . AC + k . BC =
k . (AB + AC + BC)
Or, AB + AC + BC = P
Donc finalement :
S étant l’aire du triangle
(ABC), on a :
S’ étant l’aire du
triangle (AB’C’), on a :
Donc :
Par hypothèse, on a :
Donc :
2-
Dans le triangle (ABM), la
droite (B’M’) est parallèle au support de [BM], car (d) et (BC) sont
parallèles.
Le troisième théorème
s’applique : deux segments quelconques définis sur (AB) et leurs homologues définis
(AM) ont leurs longueurs proportionnelles.
De plus, [B’M’] et [BM]
ont leurs longueurs dans une de ces proportions.
Ainsi, on a :
Dans le triangle (AMC), la
droite (M’C’) est parallèle au support de [MC], car (d) et (BC) sont
parallèles.
Le troisième théorème
s’applique : deux segments quelconques définis sur (AC) et leurs homologues définis
sur (AM) ont leurs longueurs proportionnelles.
De plus, [M’C’] et [MC]
ont leurs longueurs dans une de ces proportions.
Ainsi, on a :
Sachant que deux quantités
égales à une même troisième sont égales, les deux dernières proportions (1) et
(2)
donnent :
Or, on sait que dans une
proportion, si on permute les termes moyens (ou les termes extrêmes), on obtient
une
nouvelle proportion.
Ceci traduit que M’ est milieu
du côté [B’C’], ou encore que
[AM’] est la médiane relative à [B’C’], dans
le triangle (AB’C’).
Par ailleurs, on a vu
précédemment que :
Applications du
théorème de Thalès -
Troisième partie
On
donne un triangle quelconque (ABC) dont
les côtés [AB], [BC] et [AC] ont
respectivement
pour longueurs c, a et b,
et dont la hauteur relative au côté [BC]
a pour pied H et pour longueur h.
Un point M se déplace sur le côté
[AB]. On pose x la longueur AM.
Dans quel intervalle de nombres varie
x ?
1ère partie
On donne deux nombres positifs a et
b.
Calcule ( a + b) et ( a . b) dans
chacun des cas suivants :
a = 1 et b = 7
a = 2 et b = 6
a = 3 et b = 5
a = 4 et b = 4
a = 5 et b = 3
a = 6 et b = 2
a = 7 et b = 1
Que constates-tu ?
On donne deux autres nombres positifs
m et n.
Calcule ( m + n) et (m . n) dans
chacun des cas suivants :
m = 1 et n = 15
m = 2 et n = 14
m = 3 et n = 13
m = 4 et n = 12
m = 5 et n = 11
m = 6 et n = 10
m = 7 et n = 9
m = 8 et n = 8
m = 9 et n = 7
m = 10 et n = 6
m = 11 et n = 5
m = 12 et n = 4
m = 13 et n = 3
m = 14 et n = 2
m = 15 et n = 1
Que constates-tu encore ?
Énonce la propriété obtenue.
On admettra cette propriété pour la
suite de l’exercice.
2ème partie
De M on trace la droite (d) parallèle
à (BC) qui rencontrera le côté [AC] au
point N. De N on trace
la droite (D)
parallèle (AB) qui rencontrera le côté
[BC] au point P.
Quelle est la nature du quadrilatère
(MNPB) ?
Calcule en fonction de a, b, c, h et
x le périmètre et l’aire de ce
quadrilatère.
Pour quelle valeur de x l’aire de
(MNPB) est-elle maximum ? Quelle est
dans ce cas la position de M ?
Calcule
ce maximum ; que constates-tu ?
Solution
M se déplace
tout en restant sur [AB] ; donc il a
deux positions limites : lorsqu’il se
confond avec A,
dans ce cas AM ou x est
nulle et lorsqu’il se confond avec B,
dans ce cas AM ou x vaut AB = c.
x
devant rester largement positive,
varie
donc
dans
l’intervalle [0 ,
c].
1ère
partie
(a + b) et (a .
b) prennent respectivement les valeurs :
8 et 7 ; 8 et
12 ; 8 et 15 ; 8 et
16 ;
8 et 15 ; 8 et 12 ; 8 et 7.
La somme (a +
b) restant
constante,
le produit (a . b) croît de 7 à
16 puis décroît de 16 à 7.
De plus, ce
produit atteint son
maximum
qui est 16 pour
a = b
= 4.
(m + n) et (m .
n) prennent respectivement les valeurs :
16 et 15 ; 16
et 28 ; 16 et 39 ; 16 et 48 ; 16 et 55 ;
16 et 60 ; 16 et 63 ; 16 et
64 ;
16 et 63 ;
16 et 60 ; 16 et 55 ; 16 et
48 ; 16 et 39 ; 16 et 28 ; 16 et 15.
La somme (m +
n) restant
constante,
le produit (m . n) croît de 15 à
64 puis décroît de 64 à 15.
De plus, ce
produit atteint son
maximum
qui est 64 pour
m = n
=
8.
Conclusion
Si deux nombres positifs
varient
de manière que leur somme reste constante, leur produit
varie
et
atteindra son maximum lorsque ces
deux nombres deviennent égaux.
Pour la suite,
on admettra cette propriété.
2ème
partie
Par
construction,
(MN)
et (BC) ou
(BP)
sont parallèles ;
il en est de même pour
(NP)
et (AB) ou
(MB).
(MNPB),
ayant ainsi ces côtés deux à deux
opposés et de supports parallèles,
est un
parallélogramme.
On pose P le
périmètre de (MNPB). On a donc :
P = MN + NP +
PB + BM
Comme aussi
dans un parallélogramme les côtés
opposés ont même longueur, MN = BP et MB
= NP
et P = MN + MN + BM +
BM = 2MN + 2BM =
2(MN + BM).
Dans le
triangle (ABC), la droite (MN) est parallèle au support du côté [BC] ;
le troisième théorème
s’applique : deux
segments quelconques définis sur
(AB) et leurs homologues définis
sur (AC) ont
leurs longueurs proportionnelles.
De plus, [MN]
et [BC] ont leurs longueurs dans une
de ces proportions.
Ainsi, on a la
double proportion :
L’égalité du
premier rapport et du dernier donne la
proportion :
Sachant que
dans une proportion, le produit des
termes extrêmes est égal à celui des
termes moyens,
on a :
On pose S
l’aire de (MNPB).
Soit H’
l’intersection de la hauteur [AH] avec
(MN).
On sait que
l’aire d’un parallélogramme est le
produit de la longueur d’une quelconque
de ses
dimensions par la longueur de la
hauteur correspondante.
Dans le
triangle (ABH), la droite (MH’) étant parallèle au support de [BH], le
théorème de Thalès
s’applique : deux
segments quelconques définis sur
(AB) et leurs homologues définis
sur (AH)
ont leurs longueurs proportionnelles.
Ainsi, on a une
de ces proportions :
Sachant que dans une proportion, le
produit des termes extrêmes est égal à
celui des termes moyens,
on a :
Ainsi,
De plus, on a :
x ≥ 0
et AB ≥ AM ou AB – AM ≥ 0 ou
c – x ≥ 0
x + (c – x) = x
+ c – x = c et c est une constante
Les quantités
positives x et (c – x) varient de
manière que leur somme reste
constante.
Selon la
propriété obtenue dans la première
partie de cet exercice, leur produit,
variant avec x,
atteindra son maximum
lorsqu’elles deviennent égales,
c’est-à-dire lorsque x = c – x.
Donc, S
atteindra son maximum lorsque x = c – x.
La résolution
de cette dernière équation donne :
On donne un triangle quelconque
(ABC). La bissectrice [Ax de l’angle
intérieur au sommet A
rencontre le côté
[BC], opposé à A, au point M.
[Ax sera appelée bissectrice
intérieure en A.
Du point C on mène la demi-droite [Cy
parallèle à (AM) ; cette
demi-droite rencontre (BA)
au point F.
Démontre que le triangle (AFC) est
isocèle.
Dans un triangle, on appelle
angle
extérieur
tout angle
adjacent
et
supplémentaire
à un
angle intérieur.
Ainsi, l’angle {[AC) , [AF)} est un
angle extérieur car il est adjacent et
supplémentaire à
l’angle intérieur au
sommet A.
Soit [At la bissectrice de {[AC) ,
[AF)}.
[At sera appelée
bissectrice
extérieure en A.
[At rencontre (BC) au point N.
Quelle propriété peux-tu alors en
déduire pour un triangle ?
Solution
(AM) et (CF)
sont deux droites parallèles
coupées par la sécante (AC) ; or, on
sait que,
dans ce cas, les angles alternes
internes ont même mesure.
Par ailleurs,
ces deux droites parallèles, coupées par
la sécante (BA), définissent
avec
celle-ci des angles correspondants de
même mesure.
Donc, les
angles alternes internes {[CA) , [CF)}
et
{[AM) , [AC)}
ont même mesure.
Et aussi les
angles correspondants {[FA) , [FC)} et
{[AB) ,
[AM)}
ont même mesure.
Or [Ax étant la
bissectrice de l’angle intérieur au
sommet A, les angles {[AM) , [AC)} et
{[AB) , [AM)} ont même mesure.
Deux quantités
égales à une même troisième sont
égales ; par conséquent,
{[CA) , [CF)}et
{[FA) , [FC)} ont
même
mesure
et
le triangle (AFC) est isocèle.
Dans le
triangle (BCF), la droite (AM) est parallèle au support du côté [CF].
Par conséquent, le théorème de Thalès
s’applique : deux segments quelconques
définis sur (BC) et
leurs homologues définis sur (BF)
ont leurs longueurs
proportionnelles.
Ainsi, on a une
de ces proportions :
On connaît une
des propriétés de la proportion :
Par
ailleurs, le triangle
(AFC) étant isocèle, ses côtés [AC] et
[AF] ont même mesure ; donc
AC = AF.
En remplaçant
AF par son égale AC, dans la dernière
proportion ci-dessus, on obtient :
Dans un triangle quelconque, toute
bissectrice intérieure partage le côté
qui lui est opposé
en deux segments. Ces
derniers et les deux autres côtés ont
leurs longueurs dans une proportion.
Soit (d) la
droite passant par C et parallèle à
(AN). Elle coupe (BA) au point E.
(AN) et (EC)
sont deux droites parallèles
coupées par la sécante (AC) ; or, on
sait que, dans ce cas,
les angles
alternes internes ont même mesure.
Par ailleurs,
ces deux droites parallèles, coupées par
la sécante (AE), définissent avec
celle-ci
des angles correspondants de
même mesure.
Donc, les
angles alternes internes {[CA) , [CE)}
et
{[AC) , [AN)}
ont même mesure.
Et aussi les
angles correspondants {[EA) , [EC)} et
{[AF) , [AN)}
ont même mesure.
Or [At étant la
bissectrice de l’angle extérieur {[AC) ,
[AF)}, les angles {[AC) , [AN)} et
{[AF)
, [AN)} ont même mesure.
Deux quantités
égales à une même troisième sont
égales ; par conséquent,
{[CA) , [CE)}et
{[EA) , [EC)} ont
même
mesure
et
le triangle (AEC) est isocèle.
Dans le
triangle (BAN), la droite (EC) est parallèle au support du côté [AN].
Par conséquent,
le théorème de Thalès
s’applique : deux segments quelconques définis sur (BA) et
leurs
homologues définis sur (BN)
ont leurs longueurs proportionnelles.
Ainsi, on a une
de ces proportions :
Donc, par
application d’une propriété des
proportions, on obtient :
Or, le triangle
(AEC) étant isocèle, ses côtés [AC] et
[EA] ont même mesure ; donc AC = EA.
En remplaçant
EA par son égale AC, dans la dernière
proportion ci-dessus, on obtient :
Dans un triangle quelconque, toute
bissectrice extérieure partage le côté
qui lui est opposé
en deux segments. Ces
derniers et les deux autres côtés ont
leurs longueurs dans une proportion.
Conclusion
générale :
Dans un triangle quelconque, les
bissectrices intérieure et extérieure menées d’un sommet
quelconque
partagent le côté qui leur
est opposé en des segments.
Ces derniers
et les deux autres côtés, pris dans
un ordre donné, ont leurs longueurs
dans une double
proportion.
On te donne un triangle (ABC) avec AB
= 3 cm et AC = 5 cm.
La bissectrice de l’angle intérieur
au sommet A coupe le côté opposé [BC] au
point M tel que
MB = 2 cm.
Calcule la longueur de [BC].
Solution
On sait que la
bissectrice intérieure en A partage le
côté opposé [BC] en deux segments
[MB]
et [MC] tels que :
Dans une
proportion, le produit des termes
extrêmes est égal à celui des termes
moyens ; donc :
On donne un trapèze quelconque (ABCD)
dont les bases sont [AB] et [DC] et dont
la
hauteur est h.
Soit (d) la droite parallèle aux
supports des bases et passant par le
milieu M du
côté [AD].
Démontre que (d) coupe l’autre côté
[BC] en son milieu N.
[MN] est appelé
base moyenne
du trapèze (ABCD).
h . MN
Solution
Soit (x’x) la
droite parallèle à (BC) et passant par
A.
(x’x) coupe (d)
et (DC) respectivement aux points P et
Q.
On sait que
dans un triangle, si une droite passe
par le milieu d’un côté et est parallèle
au
support d’un deuxième côté, alors
elle rencontre le troisième en son
milieu.
Or, dans le
triangle (ADQ), (d) passe par le milieu
M du côté [AD] et est parallèle au
support
du côté [DQ].
Par conséquent, P,
intersection de (d) et du côté [AQ], est
milieu de ce dernier.
Donc, AP = PQ.
(d) coupe le
côté [BC] au point N.
Par
construction, (ABNP) et (PNCQ) ont
chacun les côtés deux à deux opposés et
parallèles ;
donc ce sont des
parallélogrammes.
Donc, dans
chacun de ces parallélogrammes, deux
côtés opposés quelconques ont même
mesure ;
ainsi, AP = BN et PQ = NC.
Comme AP = PQ,
alors BN = NC et
N est
milieu de [BC].
On sait que
dans un triangle le segment joignant les
milieux de deux de ses côtés a sa
longueur
égale à la moitié de celle du
troisième côté.
Or, dans le
triangle (ADQ), M et P sont les milieux
respectifs de [AD] et [AQ] ; donc [MP] a
sa
longueur égale à la moitié de celle
du côté [DQ] :
Dans les
parallélogrammes (ABNP) et (PNCQ), on
a :
PN = AB et PN =
QC
Donc, AB = QC =
PN.
Par ailleurs,
MN = MP + PN
Or, DQ = DC –
CQ = DC – AB
Conclusion
Dans un trapèze, la longueur de la
base moyenne est égale à la moitié de la
somme des longueurs
des deux bases.
S = h . MN
Conclusion
L’aire d’un trapèze est égale au
produit de la longueur de la base
moyenne par la hauteur.
Anna se trouve en randonnée dans les
Alpes.
Elle est sur un flanc de montagne,
assez plat, face à un arbre.
Elle souhaite connaître la hauteur h
de cet arbre, sans prendre le risque
en grimpant.
Les outils qu’elle possède est une
boussole, un canif et un double
décamètre.
Comment a-t-elle procédé pour trouver
h ?
Solution
Avec son canif,
elle se fabrique un bâton assez droit
de 150 cm de longueur, ceci à l’aide
d’une petite
branche d’arbre.
Elle plante au
sol et verticalement ce bâton à
la distance de 200 mètres du pied Q de
l’arbre.
Elle nomme P le
pied de son bâton, S et R les sommets
respectifs de l’arbre et de son bâton.
Le bâton ainsi
planté, Anna s’allonge sur l’herbe tout
en fixant le sommet R du bâton, et tout
en rampant
jusqu’à ce qu’elle obtienne,
à l’œil nu, une visée permettant de
constater l’alignement de
son œil O,
avec R et S, O étant le
plus proche possible du sol.
Dans cette
position, elle se procure une petite
pierre qu’elle pose à l’endroit O’ où se
trouve sa tête,
O’ étant sur la
verticale passant par son œil.
O étant le plus
proche possible du sol, Anna considère
alors que O’ et O sont pratiquement
confondus.
Elle se lève,
puis avec son double décamètre, elle
mesure la longueur O’P.
Elle trouve O’P
= 5 mètres.
Elle procède
ensuite au raisonnement suivant : "
Dans le
triangle (O’QS), (PR) est une droite parallèle au support (QS) du côté
[QS], car (PR) et (QS)
sont des verticales.
Donc, le
troisième théorème s’applique : deux
segments quelconques définis sur
(O’S) et (O’Q) ont
leurs longueurs proportionnelles.
De plus, le
segment [PR] et le côté [QS] ont leurs
longueurs dans une de ces
proportions.
Je peux donc
écrire :
Or, je sais que
O’Q = O’P + PQ = 5m + 200m = 205m.
Dans la
première proportion que je viens
d’écrire, je remplace O’P, O’Q et PR par
leurs valeurs que
je connais ;
j’obtiens :
Je sais que
dans une proportion, le produit des
termes extrêmes est égal à celui des
termes moyens ;
donc :
Or, QS est la
hauteur h de cet arbre ; donc je trouve
:
h = 61,5
mètres. "
Le Théorème de Thalès : outil pour le
partage d'un segment de droite
On te demande de :
1- construire avec ta règle
et ton compas un segment (S) qui mesure exactement :
2- partager (S) en trois
parties équivalentes, c'est-à-dire ayant même mesure géométrique
Solution
1-
Je sais que dans un triangle
demi équilatéral, donc triangle rectangle, dont la longueur de l'hypoténuse est
a,
la longueur du côté de l'angle droit, opposé à l'angle intérieur de mesure
60° est égale à :
Mais aussi, a est la longueur
commune des côtés du triangle équilatéral concerné.
Ici, j'ai donc a = 1 dm ou 10
cm.
Donc, je construis d'abord un
triangle équilatéral (ABC).
Pour cela, je trace d'abord un
segment [BC] de longueur 10 cm.
Du point B, avec une ouverture
de mon compas égale à 10 cm, je trace un arc de cercle (m).
Du point C, avec la même ouverture de mon compas, je trace un arc de
cercle (n).
(m) et (n) se coupent en A et (ABC) sera le triangle équilatéral recherché.
Du point A, j'abaisse la hauteur [AH] relative à [BC].
[AH] est le côté opposé à l'angle intérieur en C de mesure 60°, dans
le triangle demi équilatéral (AHC);
Avec une ouverture de compas égale à AH, je trace
le segment [MN] = (S)
2-
Le théorème de Thalès me permet de partager [MN] = (S) en trois parties
égales.
Pour cela, à partir de M, je trace d'abord une demi droite quelconque [Mx).
Avec une même ouverture de compas prise arbitrairement et à
partir de M, je place sur [Mx)
trois points H, I et J.
J'ai donc MH = HI = IJ.
Je joins J et N.
Je mène des points I et H les droites (II') et (HH') parallèles à (JN).
(II') et (HH') coupent [MN] respectivement aux points G et F.
D'après le théorème de Thalès, j'ai :
Deux quantités égales à une même troisième sont égales; donc :
MF = FG = GN
La tangente
de la mesure d'un angle aigu
Je comprends
A une certaine heure d’une
journée, un mathématicien arabe, constatant une particularité de l’angle aigu
(Ai)
d’un triangle rectangle, a pu trouver la hauteur du palmier à partir de la
longueur O de l’ombre projetée de cet
arbre au sol.
Il
pratiqua l’expérience suivante : à partir d’un bâton B bien droit et,
piqué verticalement, au sol horizontal,
il nota à chaque instant i, la longueur (oi) de l’ombre de ce bâton, ainsi que
la mesure (ai) de l’angle que fait
l’ombre avec l’hypoténuse.
Une évidence pour lui : il travaillait avec un triangle rectangle dont le sommet
de l’angle droit était le pied
du bâton.
A
la fin de la journée, il calcula les différentes valeurs que prend le rapport :
Il
nomma zol de (ai) ce
rapport ("zol" signifiant "ombre" en arabe), puis considéra son inverse
qui, par la suite,
a pris le sens mathématique de tangente.
Ainsi,
il écrivit :
Enfin il nota la formule :
Une branche des Mathématiques : la Trigonométrie, venait ainsi de naître.
Il dressa ensuite une
liste, dite aujourd’hui table trigonométrique, donnant les tangentes des
différentes
mesures d’angle aigu.
Revenant au cas de son
palmier, en mesurant Oi et l’angle (Ai) obtenu en visant le sommet S
du palmier,
il trouva alors l’inconnue H qui doit être égale à Oi
. tan(Ai).
Je reprends le procédé de calcul de ce
mathématicien :
Je dessine le Soleil, un arbre et son ombre
projetée au sol supposé horizontal.
J’ai donc un triangle rectangle (Stp), de sommet
S : sommet de l’arbre, d’angle droit au pied p
de l’arbre.
L’autre sommet t de ce triangle est le point extrême de l’ombre projetée au sol.
L’ombre projetée est donc représentée par le
côté [tp] de longueur Oi.
En visant S, l’angle trouvé est (tp, tS) et sa
mesure, supposée en degrés, est a.
La hauteur inconnue de l’arbre est H.
J’ai donc :
J’en déduis :
Je me souviendrai
Dans un triangle rectangle
quelconque,la tangente de la
mesure d’un angle aigu est égale
au
rapport
de
la longueur du côté de l’angle droit,
qui lui est opposé,
à
la longueur de l’autre côté
de l’angle droit.
Je m’entraîne
On te donne un
demi triangle équilatéral (ABC) dont le sommet de l’angle droit est en C.
L’hypoténuse est [AB] qui mesure 8 cm.
[BC] est le côté
opposé à l’angle au sommet A mesurant 60°.
Quelle est la longueur du côté
[AC] ?
Calcule, tan 60° et tan 30°.
Solution
Le théorème de Pythagore
appliqué à ce triangle rectangle donne :
Or, dans
le triangle rectangle demi équilatéral (ABC), la mesure (AC ,
AB) vaut 60° ; donc :
Or, (BA , BC) = 30° ; donc :
On te donne un triangle
rectangle isocèle (ABC) dont le sommet de l’angle droit est en C.
L’hypoténuse est [AB] qui mesure 10 cm.
Quelle est la longueur
commune des deux autres côtés ?
Calcule tan 45°.
Solution
Le théorème de Pythagore
appliqué à ce triangle rectangle donne :
On te donne
un triangle rectangle quelconque (ABC) dont le sommet de l’angle droit est en C.
a-
Les deux côtés [AC]
et [CB] mesurent respectivement b et a.
Quelle est la
longueur c de l’hypoténuse [AB] ?
b-
b-1
On pose
α
et β les mesures en degrés respectives des angles aigus en A et B.
Calcule :
tan
α
. tan β
Que peux-tu en conclure ?
b-2
En te rappelant que
dans un triangle rectangle, le sinus de la mesure d’un angle aigu est le
rapport
de la longueur du côté de l’angle droit, qui lui est opposé, à la longueur de
l’hypoténuse, et que son cosinus est le rapport de la longueur du côté de
l’angle droit, qui
lui est adjacent, à la longueur de l’hypoténuse, démontre les
relations suivantes :
Rappel:
sin2α=
[sin
α]2,
cos2α=
[cos α]2,
tan2α=
[tan
α]2,
et il en est de même pour
β.
Solution
a-
Le
théorème de Pythagore donne :
b-
b-1
Dans un triangle
rectangle, le produit des tangentes des mesures des angles aigus est égal à 1.
Comme ces deux angles aigus sont
complémentaires, on peut énoncer la
propriété suivante :
Deux angles aigus
complémentaires ont leurs mesures telles que la tangente de l'une est
l'inverse
de celle de l'autre.
b-2
On sait
que a2 + b2 = c2.
En
ajoutant 1 aux deux membres de cette dernière égalité, on obtient :
Or, a2 + b2 = c2.
En ajoutant 1 aux deux membres
de cette dernière égalité, on obtient :
Or, a2 +
b2 = c2.
Méthode pour trouver rapidement les fonctions trigonométriques des mesures
d'angle remarquables
On
aligne les mesures d'angle en ordre croissant :
0° 30° 45° 60°
90°
En dessous, on aligne les cinq premiers chiffres en ordre
croissant :
0 1 2
3 4
En
dessous, on aligne leurs racines carrées :
En
dessous, on aligne les moitiés de ces racines carrées, et ainsi on
obtient les sinus
:
En dessous, on reprend cette
dernière suite mais dans l'ordre
inverse,
et ainsi on obtient les cosinus
:
Pour obtenir la
tangente, l'angle ayant une
mesure différente de 90°, il suffit de faire
le rapport du sinus
au cosinus.
POUR LA TERMINALE S
Théorie des ensembles et Topologie -
11ème partie
Transformations ponctuelles - 1ère Partie
Remplacer :
On a également :
Par :
Asymptotes
La droite (d) a pour
équation y = ax + b.
On considère une
droite (D) parallèle à l’axe y’y coupant l’axe (x’x), (d) et (C)
respectivement en h, m et n.
On considère la
quantité algébrique :
(d) est asymptote à (C)
si et seulement si la limite de cette
quantité algébrique tend vers 0 lorsque
x tend
vers 
.
Divisons cette quantité par x (la division est possible, puisque x
tendant vers l’infini est différent de 0) ;
on obtient la quadruple égalité (1) :
Formons l’expression f(x) – ax ; on obtient l'égalité (2) :
Dans la quadruple
égalité (1) ci-dessus, la limite du 1er membre lorsque x tend vers
l’infini est 0 ;
donc le dernier membre tend également vers 0 ; mais aussi la fraction :
Dans la deuxième égalité (2) ci-dessus, la limite de [f(x) – (ax + b)] étant 0
lorsque x tend vers l’infini,
la limite de [f(x) – ax] lorsque x tend vers l’infini est b.
Conclusion :
(d) est
asymptote à (C) si et
seulement si , x tendant vers l'infini négativement ou positivement,
la limite « a » de l'expression :
existe et est finie.
ET
la limite « b » de
l'expression :
[f(x) – ax]
existe et est finie.
Exemple :
f est définie sur
R - {1} par :
et on obtient :
Au
numérateur comme au dénominateur, on met la plus grande puissance de x en
facteur ; on obtient :
On peut
simplifier par x2 puisque x tendant vers l’infini est différent
de 0 et on obtient :
Le passage à la limite donne 1 puisque
les deux fractions :
On forme
l'expression f(x) – ax ; on a :
et en mettant au même
dénominateur on obtient :
Au numérateur comme au
dénominateur, on met la plus grande puissance de x en facteur ; on
obtient :
On peut simplifier par x
puisque x tendant vers l’infini est différent de 0 et on obtient :
et le passage à la
limite donne 1 puisque les deux fractions :
Ainsi la limite de [f(x) –
x] lorsque x tend vers l’infini est égale à 1.
Conclusion :
(C) admet une asymptote
oblique qui est la droite d’équation :
y = 1.x + 1 ou y = x +
1
NB :
1- Souvent, dans des
problèmes, on te demandera d’étudier la position de la courbe (C) par rapport à
son asymptote (au-dessus ou en dessous) ; dans ce cas, c’est le signe de la
quantité :
qu’il faudra étudier ;
ainsi :
si [f(x) – (ax + b) ]
est strictement positif à l’infini , (C) est au-dessus de son
asymptote,
si [f(x) – (ax + b) ]
est strictement négatif à l’infini , (C) est en - dessous de son
asymptote.
2- (C) peut dans
certains cas de problème couper son asymptote en un point x0 fini de
son domaine de
définition ; ceci ne change rien au fait que (C) admet une asymptote car
l’existence de cette dernière est
étudiée « à l’infini »
3-
Méthodologie pour la recherche de l’asymptote oblique
.
On forme d’abord
l’expression :
puis on calcule sa
limite lorsque x tend vers l’infini.
Si cette limite a existe et est
finie, alors on poursuit notre recherche en
formant l’expression [f(x) – ax]
et en calculant sa limite b lorsque x tend vers l’infini.
Si également cette
limite b existe et est
finie, alors on conclut que (C) admet pour asymptote oblique la
droite d’équation y = ax + b.
Si
durant cette recherche l’une au moins a et b n’existe pas ou est égale à
l’infini, alors (C) n’admet
pas d’asymptote oblique.
Au voisinage de l’infini,
la courbe (C) sera au-dessus de son
asymptote oblique si et seulement si
la
quantité f(x) – [ax + b] est strictement positive.
Elle sera
en dessous de son asymptote
si et seulement si la quantité
f(x) – [ax + b] est strictement
négative.
retour
au sommaire